Japansk indskrevet firsidet sætning

Den japanske indskrevne firkantede teorem siger, at centrene af cirkler indskrevet i visse trekanter inde i en indskrevet firkant er hjørnerne af et rektangel .

Opdeling af en vilkårlig indskrevet firkant med diagonaler producerer fire overlappende trekanter (hver diagonal producerer to trekanter). Centrene af cirklerne indskrevet i disse trekanter danner et rektangel.

Lad især □ ABCD være en vilkårlig indskrevet firkant og lad M 1 , M 2 , M 3 , M 4 være centrene for cirkler indskrevet i trekanter △ ABD , △ ABC , △ BCD , △ ACD . Så er firkanten dannet af centrene M 1 , M 2 , M 3 , M 4 et rektangel.

Bevis [1]

$\angle {AM_{2}B}=180^{\circ }-\angle {BAC}/2-\angle {ABC}/2=90^{\circ }+\angle {ACB}/2$ (da er vinkelhalveringslinjen og er vinkelhalveringslinjen ) ${\displaystyle AM_{2))$ $\angle {BAC}$ ${\displaystyle BM_{2))$ $\angle {ABC}$

På samme måde får vi $\angle {AM_{1}B}=180^{\circ }-\angle {ABD}/2-\angle {BAD}/2=90^{\circ }+\angle {BDA}/2$

Da firkanten er indskrevet, har vi , hvoraf det følger, at firkanten også er indskrevet i en cirkel, så vi får $ABCD$ $\angle {ADB}=\angle {ACB}$ $\angle {AM_{1}M_{2}B}$ $\angle {M_{1}M_{2}B}=180^{\circ }-\angle {BAM_{1))=180^{\circ }-\angle {A}/2$

På samme måde får vi $\angle {BM_{2}M_{3}}=180^{\circ }-\angle {C}/2$

Og følgelig $\angle {M_{1}M_{2}M_{3}}=360^{\circ }-(\angle {M_{1}M_{2}B}+\angle {BM_{2}M_ {3)))=(\vinkel {A}+\vinkel {C})/2=180^{\cirkel }/2=90^{\cirkel }$

På samme måde beviser vi for andre vinkler. Vi får at alle fire hjørner af firkanten er rigtige. Sætning bevist

Bemærk, at beviset for denne sætning let generaliseres til beviset for den japanske sætning for indskrevne polygoner (japansk sætning for cykliske polygoner) .

Beviset for en generel indskrevet polygon følger umiddelbart af tilfældet med en firkant (ved induktion på antallet af trekanter i en partition af en polygon).

Bemærkning 1

For en indskrevet firkant er den japanske indskrevne firkantssætning en del af et mere komplekst udsagn:

I den indskrevne firkant ABCD er centrene af cirklerne i trekanterne ABC , BCD , CDA og DAB hjørnerne af rektanglet , ortocentrene i de samme fire trekanter er hjørnerne af firkanten lig med ABCD , tyngdepunkterne i disse fire trekanter er hjørnerne af en anden indskrevet firkant [2] .

Se også

Litteratur

Mangho Ahuja, Wataru Uegaki, Kayo Matsushita: In Search of the Japanese Theorem (efterskriftsfil)
Sætning ved Cut-the-Knot
Wataru Uegaki: " Japansk sætningの起源と歴史" (om den japanske sætnings oprindelse og historie). Departmental Bulletin Paper, Mie University Scholarly E-Collections, 2001-03-01
Wilfred Reyes: En anvendelse af Thebaults sætning . Forum Geometricorum, bind 2, 2002, pp. 183-185
Titu Andreescu, Bogdan Enescu. Matematisk Olympiade Treasures. - Springer, 2004. - ISBN 978-0-8176-4305-8 .

Japansk indskrevet firsidet sætning

Bevis [1]

Bemærkning 1

Se også

Litteratur

Links