Entropi af et dynamisk system

Entropien af et dynamisk system er et tal, der udtrykker graden af tilfældighed af et dynamisk systems baner . Der er metrisk entropi , som beskriver tilfældigheden af dynamikken i et system med et invariant mål for et tilfældigt valg af startbetingelsen for dette mål, og topologisk entropi , som beskriver dynamikkens tilfældighed uden at antage loven at vælge det indledende punkt.

Variationsprincippet for teorien om dynamiske systemer siger, at for et kontinuerligt dynamisk system på et kompakt sæt er den topologiske entropi lig med den mindste øvre grænse af de metriske, overtaget alle mulige valg af systemets invariante mål.

Topologisk entropi

Lad en kontinuerlig kortlægning af et metrisk kompaktsæt i sig selv blive givet. Derefter defineres metrikken på som $T$ $(X,d)$ $d_{n}$ $x$

d_{n}(x,y)=\max _{0\leq j\leq n}d(T^{j}(x),T^{j}(y)),

med andre ord, dette er den maksimale afstand, som de kredser og divergerer i iterationer. Yderligere, for et givet , siger vi, at et sæt er -separeret , hvis de parvise -afstande mellem dets punkter ikke er mindre end , og kardinaliteten af det største sådant sæt er angivet med . Derefter er den topologiske entropi af kortlægningen den dobbelte grænse $x$ $y$ $n$ $\varepsilon >0,$ $(n,\varepsilon )$ $d_{n}$ $\varepsilon$ $N(n,\varepsilon )$ $T$

h(T)=\lim _{\varepsilon \to 0}\limsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n))\log N(n,\varepsilon ).

Den samme værdi kan defineres forskelligt: hvis vi angiver med styrken af det mindste -netværk, så $M(n,\varepsilon )$ $\varepsilon$

h(T)=\lim _{\varepsilon \to 0}\limsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n))\log M(n,\varepsilon ).

Ækvivalensen af disse definitioner kan let udledes af ulighederne.Det er værd at bemærke, at begge definitioner formaliserer følgende ikke-strenge koncept: for et ukendt udgangspunkt, hvor meget information der skal indhentes per iteration for at forudsige et stort antal gentagelser med en lille fast fejl. $N(n,\varepsilon )\leq M(n,\varepsilon )\leq N(n,\varepsilon /2).$

Metrisk entropi

Lad være et målbevarende målbart dynamisk system. Per definition er entropien af en partition tallet $(X,T,\mu )$ ${\displaystyle X=\bigcup _{j=1}^{n}\xi _{j))$

H(\xi ):=\sum _{j=1}^{n}-\mu (\xi _{j})\log \mu (\xi _{j}),

som bestemmer informationsentropien for definitionen af et partitionselement, der indeholder et -tilfældigt punkt. $\mu$

Iterativ forfining af partitionen , $\xi$

\xi ^{(k)}=\venstre\{\xi _{i_{1}}\cap T^{-1}(\xi _{i_{2}})\cap \dots \cap T^{-k+1}(\xi _{i_{k}})\midt 1\leq i_{1},\dots ,i_{k}\leq n\right\}

bestemme i hvilke elementer punktet vises under iterationer, og dermed værdien $\xi$ $k$

h_{\mu }(T,\xi )=\lim {\frac {1}{k}}H(\xi ^{(k)})

udtrykker informationsentropien i en sådan proces. Endelig er den metriske entropi af en kortlægning i mål defineret som den mindste øvre grænse over alle mulige partitioner : $T$ $\mu$ $h_{\mu}(\xi)$ $\xi$

h_{\mu }(T):=\sup _{\xi }h_{\mu }(T,\xi ).

Litteratur

Katok A. B. , Hasselblat B. Introduktion til den moderne teori om dynamiske systemer / overs. fra engelsk. A. Kononenko med deltagelse af S. Ferleger. - M . : Faktoriel, 1999. - 768 s. — ISBN 5-88688-042-9 .