Stirlingtal af den anden slags

I kombinatorik er Stirling-tallet af den anden slags fra n til k , betegnet med eller , antallet af uordnede partitioner af et n - element sat i k ikke-tomme delmængder. $S(n,k)$ $\textstyle \lbrace {n \top k}\rbrace$

Rekursive repræsentationer

Stirling-tallene af den anden slags opfylder de tilbagevendende relationer:

1) for .

S(n,k)=S(n-1,k-1)+k\cdot S(n-1,k)

0<k\leq n

2) .

S(n,k)=\sum \limits _{j=0}^{n-1}{\binom {n-1}{j}}S(j,k-1)

under naturlige begyndelsesforhold , ved og kl .

S(0,0)=1

S(n,0)=0

n>0

S(j,k)=0

k>j

Eksplicit formel

S(n,k)={\frac {1}{k!}}\sum \limits _{{j=0}}^{k}(-1)^{{k+j}}{\binom { k}{j}}j^{n}.

Tabel over værdier for $0\leq n,k\leq 9$

n\k	0	en	2	3	fire	5	6	7	otte	9
0	en
en	0	en
2	0	en	en
3	0	en	3	en
fire	0	en	7	6	en
5	0	en	femten	25	ti	en
6	0	en	31	90	65	femten	en
7	0	en	63	301	350	140	21	en
otte	0	en	127	966	1701	1050	266	28	en
9	0	en	255	3025	7770	6951	2646	462	36	en

Egenskaber

$x^{n}=\sum _{{k=0}}^{n}S(n,k)\cdot (x)_{k},$ hvor $(x)_{k}=x(x-1)\cdots (x-k+1).$
$S(m,n)=\sum _{{i=n-1}}^{{m-1}}{\binom {m-1}{i}}\,S(i,n-1)$
$\sum _{{m=0}}^{n}S(n,m)=B_{n}$ er klokkenummeret .

Stirlingtal af den anden slags

Rekursive repræsentationer

Eksplicit formel

Tabel over værdier for $0\leq n,k\leq 9$

Egenskaber

Se også

Links