Delvis geometri

Lad der være en incidensstruktur bestående af punkter , linjer og flag . Et punkt siges at være indfaldende til en linje, hvis . En struktur kaldes en endelig partiel geometri , hvis der er heltal , således at: $C=(P,L,I)$ $P$ $L$ $I\subseteq P\ gange L$ $s$ $l$ $(p,l)\i I$ $s,t,\alpha \geq 1$

For ethvert par af forskellige punkter, og der er højst én linje, der falder ind til begge punkter. $s$ $q$
Hver linje er indfaldende til et punkt. $s+1$
Hvert punkt er sammenfaldende med linjer. $t+1$
Hvis et punkt og en linje ikke er indfaldende, så er der nøjagtigt par , som er sammenfaldende med og er indfaldende med . $s$ $l$ $\alfa$ $(q,m)\in I$ $s$ $m$ $q$ $l$

Delgeometri med disse parametre er angivet med . $pg(s,t,\alpha )$

Egenskaber

Antallet af point er givet af formlen , og antallet af linjer er givet af formlen . ${\frac {(s+1)(st+\alpha )}{\alpha }}$ ${\frac {(t+1)(st+\alpha )}{\alpha ))$
Punktgrafen [1] af strukturen er en meget regulær graf : . $pg(s,t,\alpha )$ $srg((s+1){\frac {(st+\alpha )}{\alpha )),s(t+1),s-1+t(\alpha -1),\alpha (t+ one ))$
Delgeometrier er dobbelte - den dobbelte struktur for er simpelthen strukturen . $pg(s,t,\alpha )$ $pg(t,s,\alpha )$

Særlige tilfælde

Generaliserede firkanter er nøjagtigt partielle geometrier med . $pg(s,t,\alpha )$ $\alpha=1$
Steiner-systemer er nøjagtigt delvise geometrier med . $pg(s,t,\alpha )$ $\alpha =s+1$

Generaliseringer

Et delvist lineært rum af orden kaldes en semi-partiel geometri, hvis der er heltal , således at: $S=(P,L,I)$ $s,t$ $\alpha \geq 1,\mu$

Hvis et punkt og en linje ikke er indfaldende, så er der enten eller nøjagtigt par , sådan som er hændende og hændende . $s$ $\ell$ $0$ $\alfa$ $(q,m)\in I$ $s$ $m$ $q$ $\ell$
Ethvert par ikke-kollineære punkter har nøjagtige fælles naboer. $\mu$

En semi-partiel geometri er en delvis geometri, hvis og kun hvis . $\mu =\alpha (t+1)$

Det er let at vise, at den collineære graf [1] for en sådan geometri er strengt regulær med parametre . $(1+s(t+1)+s(t+1)t(s-\alpha +1)/\mu ,s(t+1),s-1+t(\alpha -1) ,\mu )$

Et godt eksempel på en sådan geometri fås ved at tage affine punkter og kun de linjer, der skærer planet i det uendelige ved et punkt i et fast Baer-underplan. Geometri har parametre . $PG(3,q^{2})$ $(s,t,\alpha ,\mu )=(q^{2}-1,q^{2}+q,q,q(q+1))$

Noter

↑ 1 2 Givet en partiel geometri P , hvor to vilkårlige punkter højst definerer en linje, er kollinearitetsgrafen eller punktgrafen for geometrien P den graf, hvis spidser er punkterne P , og to spidser er forbundet med en kant, hvis og kun hvis de definerer en linje i P. _

Litteratur

Brouwer AE, van Lint JH Stærkt regelmæssige grafer og partielle geometrier // Enumeration and Design / Jackson DM, Vanstone SA. Toronto: Academic Press, 1984. s. 85–122.
Bose RC Stærkt regelmæssige grafer, delvise geometrier og delvist afbalancerede designs // Pacific J. Math. - 1963. - T. 13 . — S. 389–419 .
De Clerck F., Van Maldeghem H. Nogle klasser af rang 2 geometrier // Handbook of Incident Geometry. - Amsterdam: Nord-Holland, 1995. - S. 433-475.
Thas JA Partial Geometries // Handbook of Combinatorial Designs / Colbourn Charles J., Dinitz Jeffrey H.. - 2nd. — Boca Raton: Chapman & Hall/ CRC, 2007. — s. 557–561. — ISBN 1-58488-506-8 .
Debroey I., Thas JA On semipartial geometries // Journal of Combinatorial Theory Ser. A. - 1978. - T. 25 . — S. 242–250 .