Rademacher funktion

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. februar 2020; verifikation kræver 1 redigering .

Rademacher-funktionen er en stykkevis konstant periodisk funktion, der kun tager to værdier 1 og −1 over hele definitionsdomænet. Indført af Hans Rademacher i 1922 [1] . Grafen for funktionen er en meander .

Rademacher-funktionen kan udtrykkes som følger:

\operatørnavn {rad} _{n}(x)=\operatørnavn {tegn} \left(\sin \left(2^{n}\pi x\right)\right)

Systemet med Rademacher-funktioner er ortonormalt i rummet, $L^{2}[0,1]$ fordi:

\int _{0}^{1}\operatørnavn {rad} _{n}(x)\cdot \operatornavn {rad} _{m}(x)\mathrm {d} x=\delta _{ mn}

hvor er Kronecker-symbolet . $\delta _{{mn}}$

Rademachers system af funktioner er ufuldstændigt. Baseret på dem kan du bygge Walsh-funktionerne :

\operatørnavn {wal} _{\nu}(x)=\operatørnavn {rad} _{\operatørnavn {lb} \nu}(x)

hvor er den binære logaritme . $\operatørnavn {lb} \nu =\log _{2}\nu$

Rademacher-funktionen kan specificeres via Haar-funktionen : $\psi(x)$

\operatorname {rad} _{\nu}(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\psi (2^{\nu}x+k)

Noter

↑ H. Rademacher. Einige Sätze über Reihen von allgemeinen Orthogonalfunktionen (tysk) // Math. Ann.. - 1922. - Bd. 87 , nr. 1-2 . — S. 112–138 . (utilgængeligt link)

Rademacher funktion

Noter

Links