Mangold funktion

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 16. april 2020; verifikation kræver 1 redigering .

Mangoldt-funktionen er en aritmetisk funktion lig med hvis er en potens af et primtal , ellers . Kort: $\Lambda (n)$ $\ln s$ $n=p^{m}$ $\Lambda (n)=0$

\Lambda (n)={\begin{cases}\ln p,\quad &n=p^{m}\\0,\ \quad &n\neq p^{m}\end{cases))

Mangoldt-funktionen blev foreslået af X. Mangoldt i 1894. Bruges til at bevise loven om fordeling af primtal generelt og i aritmetiske progressioner.

Egenskaber

Det følger af definitionen, at

\sum \limits _{d\midt n}\Lambda (d)=\ln n

Ved at bruge Möbius-inversionsformlen fra den foregående formel får vi

\Lambda (n)=\sum \limits _{d\midt n}\mu (d)\ln {\frac {n}{d))=-\sum \limits _{d\midt n} \mu (d)\ln d

Relation til fordelingen af primtal

Relation til Riemann zeta-funktionen : $\ln \zeta (s)=\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}\ln n)),\ \ operatørnavn {Re} s>1$
$-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)))=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{ n^{s}}},\ \operatørnavn {Re} s>1$
Lignende relationer gælder også for Dirichlet L-funktioner :

\ln L(s,\chi )=\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {\chi (n)\Lambda (n)}{n^{s}\ ln n}},\ \operatørnavn {Re} s>1

-{\frac {L'(s,\chi )}{L(s,\chi )}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi ( n)\Lambda (n)}{n^{s}}},\ \operatørnavn {Re} s>1

$\sum \limits _{n\leqslant x}{\frac {\Lambda (n)}{n))\sim \ln x$
$\sum \limits _{n\leqslant x}{\frac {\Lambda (n)}{n\ln n))=\ln \ln x+\gamma +O(e^{-c{\sqrt {\ln x)))}),$ hvor er Euler-konstanten $\gamma$
Chebyshev psi-funktionen er summeringsfunktionen af Mangoldt-funktionen

\psi (x)=\sum \limits _{{n\leqslant x}}\Lambda (n)

Perrons formel , anvendt på den foregående relation, giver

{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)))=-s\int \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\psi (x)} {x^{1+s}}}dx,\ \operatørnavn {Re} s>1

Litteratur

Prahar. Fordeling af primtal. — M .: Mir, 1967.

Mangold funktion

Egenskaber

Relation til fordelingen af ​​primtal

Litteratur

Relation til fordelingen af primtal