Formlen for produktet af koranger

Korankproduktformlen er en matematisk formel, der udtrykker kodimensionen af det sæt af punkter, hvor kernen af kortlægningsderivatet har en given dimension som produktet af koranken af den givne mapping i forbilledet og billedet.

Ordlyd

Korrekturen af en lineær mapping i præbilledet (i billedet) er tallet (henholdsvis ), hvor er rangeringen af mappingen . Corangerne er relateret til kernens dimension (vi betegner den med ) ved formlerne: og [1] . ${\displaystyle A:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n))$ $mr$ $nr$ $r$ $EN$ $EN$ $jeg$ $mr=i$ $nr=n-m+i$

Lade være en jævn kortlægning af glatte manifolds og dimensioner og hhv. Symbolet angiver dens afledede i et punkt , det vil sige den lineære afbildning af tangentrum . $f:M^{m}\to N^{n}$ $M^{m}$ $N^{n}$ $m$ $n$ ${\displaystyle f_{*x))$ ${\displaystyle x\in M^{m))$ $f_{*x}:T_{x}M^{m}\to T_{f(x)}N^{n}$

Et punkt hører til sættet, hvis dimensionen af kernen af den afledte på dette punkt er . Sættene dækker helt sikkert hele manifolden , men som regel er ikke alle sæt i denne kæde ikke-tomme (f.eks. i tilfælde af en ulighed , hvoraf, under hensyntagen til forholdet , følger det , at er, at sættet er tomt). ${\displaystyle x\in M^{m))$ $\Sigma ^{i},$ $i\geq 0,$ ${\displaystyle f_{*x))$ $jeg$ ${\displaystyle \Sigma ^{0},\ldots ,\Sigma ^{m))$ $M^{m}$ $n>m$ $r\leq n<m$ $mr=i$ $i>0$ $\Sigma ^{0}$

Sætning. For at kortlægge en generel position er alle sæt glatte undervarianter i . I dette tilfælde er der en sammenhæng $f:M^{m}\to N^{n}$ $\Sigma ^{i}$ $M^{m}$

m-\dim \,\Sigma ^{i}=(mr)(nr),

hvor er rangeringen af kortlægningen kaldet corank-produktformlen [1] . $r=mi$ $f_{*x},$

Værdien beregnet med denne formel kan være negativ. Det betyder, at det tilsvarende sæt er tomt. ${\displaystyle \dim \Sigma ^{i))$ $\Sigma ^{i}$

Følge. I rummet af typematricer danner sættet af rangmatricer en jævn manifold af kodimension [1] . $(m, n)$ $r$ $(mr)(nr)$

Litteratur

Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singulariteter af differentiable mappings, - Enhver udgave.

Noter

↑ 1 2 3 Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularities of differentiable mappings, - Enhver udgave.