Formel for total sandsynlighed

Den samlede sandsynlighedsformel giver dig mulighed for at beregne sandsynligheden for en begivenhed af interesse gennem de betingede sandsynligheder for denne begivenhed, under forudsætning af visse hypoteser, såvel som sandsynligheden for disse hypoteser.

Ordlyd

Lad et sandsynlighedsrum gives , og en komplet gruppe af parvis uforenelige hændelser sådan, at $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $\{B_i\}_{i=1}^{n} \subset \mathcal{F}$

$\forall i \; \mathbb{P}\; (B_i) > 0;$
$\forall{j \ne i} \; B_i \cap B_j = \varnothing ;$
$\bigcup _{i=1}^{n}B_{i}=\Omega .$

Lad være begivenheden af interesse for os. Så får vi: $A\in {\mathcal {F}}$

\mathbb{P}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} \mathbb{P}( A \midt B_i) \mathbb{P}(B_i)

.

Bemærk

Formlen for total sandsynlighed har også følgende fortolkning. Lade være en stokastisk variabel med fordeling $N$

\mathbb{P}(N=n) = \mathbb{P}(B_n)

.

Derefter

\mathbb{P}(A) = \mathbb{E}\venstre[\mathbb{P}(A\midt N)\right]

,

de der. den forudgående sandsynlighed for en begivenhed er lig med gennemsnittet af dens bageste sandsynlighed .

Se også