Stirling formel

I matematik er Stirling-formlen (også Moivre-Stirling- formlen) en formel til den omtrentlige beregning af faktor- og gammafunktion . Sidstnævnte er opkaldt efter James Stirling og Abraham de Moivre og betragtes som forfatteren af formlen [1] .

Den mest brugte version af formlen:

\ln \Gamma (n+1)=\ln n!=n\ln n-n+O(\ln n).

Det næste led i denne er ; altså en mere nøjagtig tilnærmelse: $O(\ln n)$ ${\frac {1}{2}}\ln(2\pi n)$

\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{{\sqrt {2\pi n}}\,\left({\frac {n}{e}}\right)^ {n}}}=1,

hvilket svarer til

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\venstre({\frac {n}{e}}\right)^{n}.

Stirling-formlen skrives ofte som

n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\exp {\frac {\theta _{n}}{ 12n}},

hvor ,. _ Et mere præcist skøn er givet af formlen $0<\theta _{n}<1$ $n>0$

n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\exp {\frac {1}{12n+\theta _{ n}}},

hvor ,. _ $0<\theta _{n}<1$ $n>0$

I den sidste formel er den maksimale værdi faktisk mindre end 1 og er omtrent lig med 0,7509. $\theta_n$

Stirlings formel er en tilnærmelse opnået fra udvidelsen af faktoren til en Stirling-serie , som har formen $n>0$

{\begin{aligned}n!&\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\exp \sum _{ k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2k(2k-1)n^{2k-1}}}=\\&={\sqrt {2\pi n}}\ venstre({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}- {\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+\cdots \right)=\\&={\sqrt {2\pi n}} \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{(2^{1})(6n)^{1}}}+{ \frac {1}{(2^{3})(6n)^{2}}}-{\frac {139}{(2^{3})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^ {3}}}-{}\right.\\&\qquad \left.{}-{\frac {571}{(2^{6})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{ 4}}}+\cdots \right),\end{aligned}}

hvor er Bernoulli-tallene med tal . $B_j$ $j$

Denne formel bruger ækvivalenssymbolet i stedet for lighed, da serien divergerer for hver fast , men det er en asymptotisk udvidelse af faktoren for . $n$ $n\til\infty$

Links

↑ Pearson, Karl (1924), Historisk note om oprindelsen af den normale fejlkurve , Biometrika bind 16: 402-404 [s. 403] , DOI 10.2307/2331714 : “Stirling viste kun, at den aritmetiske konstant i De Moivres formel er . Jeg tror ikke, at dette gør ham til forfatteren af teoremet." ${\sqrt {2\pi ))$

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk catalansk Stor russer Britannica (online)