Plücker formel

Plücker-formlen  er en af ​​en familie af formler udviklet af den tyske matematiker og fysiker Plücker i 1830'erne. Formlerne relaterer nogle invarianter af algebraiske kurver og invarianter af deres dobbelte kurver. En invariant kaldet en slægt , som er fælles både for en kurve og dens dobbeltkurve, er relateret til andre invarianter med lignende formler. Disse formler og det faktum, at hver af disse invarianter skal være et positivt heltal, pålægger strenge begrænsninger for de mulige værdier af invarianterne.

Plücker invarianter og grundlæggende ligninger

En kurve i denne sammenhæng er givet af en ikke-degenereret algebraisk ligning i det komplekse projektive plan . Linjerne i dette plan svarer til punkter i det dobbelte projektive plan , mens linjerne, der tangerer en given algebraisk kurve C , svarer til punkter på den algebraiske kurve C * , kaldet den dobbelte kurve . Punkterne på kurven C svarer til linjer, der tangerer C * , så den dobbelte kurve for C * er C .

De første to invarianter involveret i Plücker-formlerne er graden d af kurven C og graden d * , kaldet klassen af ​​kurven C. Geometrisk er d  antallet af skæringspunkter for en vilkårlig linje og C , inklusive komplekse punkter og punkter ved uendelig, med multiplicitet taget i betragtning. Klassen d *  er antallet af tangenter til C , der passerer gennem et vilkårligt punkt på planet. For eksempel har et keglesnit både grad og klasse 2. Hvis kurven C ikke har nogen entalspunkter , siger Plückers første formel, at

men for kurver med entalspunkter skal formlen korrigeres.

Lad δ være antallet af almindelige dobbeltpunkter på kurven C , det vil sige at have forskellige tangenter (sådanne punkter kaldes selvskæringspunkter ) eller isolerede , og κ antallet af spidser , det vil sige punkter med en enkelt tangent. Hvis kurven C har singulariteter af højere grad, så betragtes de som flere singularitetspunkter ifølge analysen af ​​singularitetens natur. For eksempel tæller et almindeligt tredobbelt point som tre dobbeltpoint. Igen tæller imaginære punkter og punkter ved uendelighed også. Den raffinerede form af den første Plücker-lighed har formen

På samme måde lad δ *  være antallet af almindelige dobbeltpunkter og κ *  være antallet af spidser af kurven C * . Plückers anden formel siger det

Det geometrisk almindelige dobbeltpunkt på kurven C *  er en ret linje, der tangerer kurven i to punkter ( bitangental ), og spidsen af ​​kurven C *  er bøjningspunktet .

De første to Plücker-ligninger har to versioner:

Disse fire ligheder er faktisk ikke uafhængige, så alle tre kan bruges til at udlede en fjerde. Hvis der er givet tre af de seks invarianter d , d * , δ, δ * , κ og κ * , så kan de resterende tre beregnes ud fra dem.

Endelig kan den geometriske slægt af kurven C bestemmes ved formlen

Denne lighed svarer til den dobbelte

I alt har vi fire uafhængige ligninger med syv ubekendte, og givet tre ubekendte kan de resterende fire beregnes.

Kurver uden specielle punkter

Et vigtigt specialtilfælde er, når kurven C ikke har nogen singulære punkter, det vil sige, δ og κ er lig med 0, så de resterende invarianter kan beregnes i form af d alene :

For eksempel har en flad kvartik uden entalspunkter slægt 3, 28 bitangenter og 24 bøjningspunkter.

Kurvetyper

Kurver er klassificeret i typer i henhold til deres Plücker-invarianter. Plücker-ligningerne, sammen med begrænsningen om, at invarianterne skal være naturlige tal, begrænser i høj grad antallet af mulige typer kurver af en given grad. Projektivt ækvivalente kurver skal være af samme type, men kurver af samme type er generelt ikke projektivt ækvivalente. Kurver af grad 2 - keglesnit - har en enkelt type, givet ved lighederne d = d * =2, δ=δ * =κ=κ * = g =0.

For kurver af grad 3 er tre typer med invarianter mulige [1]

Kurver af typerne (ii) og (iii) er rationelle kubiske kurver, med henholdsvis et almindeligt dobbeltpunkt og en spids. Kurver af type (i) har ingen enkeltstående punkter ( elliptiske kurver ).

For kurver af grad 4 er der 10 mulige typer med invarianter [2]

Noter

1. ↑ Harold Hilton. Plane algebraiske kurver. - Oxford, 1920. - S. 201.
2. ↑ Hilton, s. 264

Links

• Griffiths F., Harris J. Principper for algebraisk geometri. - 1982. - T. 1-2, pr. fra engelsk..
• Kleiman S.L. Matematik succes. Videnskaber. - 1980. - T. 35 , no. 6 . - S. 69-148 .
• Savelov A.A. Flade kurver. Systematik, egenskaber, anvendelser. - Moskva: Statens forlag for fysisk og matematisk litteratur, 1960.
• Laks, George . A Treatise on the Higher Plane Curves , 1879, s. 64ff.