De Moivre formel

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 19. april 2021; verifikation kræver 1 redigering .

De Moivres formel for komplekse tal siger det $z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$

z^{n}=r^{n}(\cos \varphi +i\sin \varphi )^{n}=r^{n}(\cos n\varphi +i\sin n\varphi )

[en]

for enhver . $n\in \mathbb {N}$

Historisk set blev De Moivres formel bevist tidligere end Eulers formel :

e^{ix}=\cos x+i\sin x,

følger dog umiddelbart deraf.

Ansøgning

En lignende formel er også anvendelig, når man beregner de n -te rødder af et komplekst tal, der ikke er nul:

z^{1/n}={\big [}r{\big (}\cos(\varphi +2\pi k)+i\sin(\varphi +2\pi k){\big ) }{\big ]}^{1/n}=r^{1/n}\venstre(\cos {\frac {\varphi +2\pi k}{n))+i\sin {\frac {\ varphi +2\pi k}{n}}\right),

hvor . $k=0,1,\dots ,n-1$

Det følger af denne formel, at de th rødder af et komplekst tal, der ikke er nul, altid eksisterer, og deres tal er lig med . På det komplekse plan, som det kan ses af den samme formel, er alle disse rødder hjørner af en regulær n - gon indskrevet i en cirkel med radius centreret ved nul. $n$ $n$ ${\sqrt[{n}]{r))$

Når du ud fra Moivre-formlen kan udlede værdierne af trigonometriske funktioner for flere argumenter (f.eks. sinus og cosinus for dobbelt-, tredobbeltvinkler osv.). $r=1$

Historie

Opdaget af den engelske matematiker Abraham de Moivre .

Se også

Noter

↑ § 3. Hæve et komplekst tal til en potens og udtrække en rod fra et komplekst tal . scask.ru . Hentet: 27. marts 2022. (ubestemt)