Kubo Formel

Kubo-formlen er en ligning, der udtrykker den lineære reaktion af en observeret størrelse som funktion af en ikke-stationær forstyrrelse . Opkaldt efter Ryogo Kubo , som først introducerede formlen i 1957 [1] [2] .

Ved hjælp af Kubo-formlen kan man beregne ladnings- og spinmodtageligheden af elektronsystemer som en reaktion på påførte elektriske og magnetiske felter. Det er også muligt at beregne responsen på eksterne mekaniske kræfter og vibrationer.

Kubos generelle formel

Overvej et kvantesystem beskrevet af en (tidsuafhængig) Hamiltonianer . Gennemsnitsværdien af en fysisk mængde beskrevet af operatøren kan estimeres som: $H_{0}$ ${\hat {A}}$

\langle {\hat {A}}\rangle ={1 \over Z_{0}}\operatørnavn {Tr} \,[{\hat {\rho _{0}}}{\hat {A} }]={1 \over Z_{0}}\sum _{n}\langle n|{\hat {A}}|n\rangle e^{-\beta E_{n}}

{\hat {\rho _{0}}}=e^{-\beta {\hat {H}}_{0}}=\sum _{n}|n\rangle \langle n|e ^{-\beta E_{n}}

hvor er partitionsfunktionen . Lad os nu antage, at på tidspunktet for tiden begynder en ekstern forstyrrelse at virke på systemet. Denne forstyrrelse er beskrevet af en yderligere tidsafhængighed af Hamiltonian: hvor er Heaviside-funktionen , som er lig med 1 for positive tider og 0 ellers og er Hermitian og er defineret for alle t , sådan at for positive , har et komplet sæt af reelle egenværdier , men disse egenværdier kan ændre sig over tid. $Z_{0}=\operatørnavn {Tr} \,[{\hat {\rho }}_{0}]$ $t=t_{0}$ ${\hat {H}}(t)={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}(t)\theta (t-t_{0}),$ $\theta (t)$ ${\hat {V}}(t)$ $t-t_{0}$ ${\hat H}(t)$ $E_{n}(t)\,,$

Men nu kan vi igen finde tidsudviklingen af tæthedsmatricen fra højre side af udtrykket for partitionsfunktionen og estimere den matematiske forventning som ${\hat {\rho }}(t)$ $Z(t)=\operatørnavn {Tr} \,[{\hat {\rho }}(t)],$ $\langle {\hat {A}}\rangle =\operatørnavn {Tr} \,[\rho (t)\,{\hat {A}}]/\operatørnavn {Tr} \,[{\hat {\rho }}(t)].$

Staternes tidsafhængighed er fuldstændig bestemt af Schrödinger-ligningen, som svarer til Schrödinger-billedet . Men da det betragtes som en lille forstyrrelse, er det praktisk at bruge repræsentationen af interaktionsbilledet i den laveste ikke-trivielle rækkefølge. Tidsafhængigheden i denne repræsentation er givet af hvor per definition for alle t og , $|n(t)\rangle$ $i\partial _{t}|n(t)\rangle ={\hat {H))(t)|n(t)\rangle ,$ ${\hat {V}}(t)$ $|{\hat {n}}(t)\rangle ,$ $|n(t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}_{0}t}|{\hat {n}}(t)\rangle =e^{-i{\ hat {H}}_{0}t}{\hat {U}}(t,t_{0})|{\hat {n}}(t_{0})\rangle ,$ $t_0$ $|{\hat {n}}(t_{0})\rangle =e^{i{\hat {H}}_{0}t_{0}}|n(t_{0})\rangle$

I lineær rækkefølge i får vi . Således er gennemsnittet af op til en lineær orden med hensyn til forstyrrelsen lig med ${\hat {V}}(t)$ ${\hat {U}}(t,t_{0})=1-i\int _{t_{0}}^{t}dt'{\hat {V}}(t')$ ${\hat {A}}(t)$

{\begin{array}{rcl}\langle {\hat {A}}(t)\rangle &=&\langle {\hat {A}}\rangle _{0}-i\int _{ t_{0}}^{t}dt'{1 \over Z_{0}}\sum _{n}e^{-\beta E_{n}}\langle n(t_{0})|{\hat {A}}(t){\hat {V}}(t')-{\hat {V}}(t'){\hat {A}}(t)|n(t_{0})\rangle \\&=&\langle {\hat {A}}\rangle _{0}-i\int _{t_{0}}^{t}dt'\langle [{\hat {A}}(t) ,{\hat {V}}(t')]\rangle _{0}\end{array}}

Vinkelparenteserne betyder ligevægtsgennemsnittet over den uforstyrrede Hamiltonian . Derfor inkluderer gennemsnittet for førsteordens forstyrrelsesteori kun nul-ordens egenfunktioner, hvilket normalt sker i forstyrrelsesteorien. Dette fjerner al den kompleksitet, der ellers kunne opstå for tidspunkter . ${\displaystyle \langle \rangle _{0))$ $H_{0}.$ $t>t_{0}$

Ovenstående udtryk gælder for alle operatorer. (se også Anden kvantisering ) [3] .

Noter

↑ Kubo, Ryogo (1957). "Statistisk-mekanisk teori om irreversible processer. I. Generel teori og enkle anvendelser på magnetiske og ledningsproblemer”. J Phys. soc. Jpn . 12 :570-586. DOI : 10.1143/JPSJ.12.570 .
↑ Kubo, Ryogo (1957). "Statistisk-mekanisk teori om irreversible processer. II. Reaktion på termisk forstyrrelse." J Phys. soc. Jpn . 12 : 1203-1211. DOI : 10.1143/JPSJ.12.1203 .
↑ Mahan, GD. mange partikelfysik. - New York: springer, 1981. - ISBN 0306463385 .