Factorion

En faktorion er et naturligt tal , der er lig med summen af dens cifres fakulteter .

Fuld liste over faktorioner

$1=1!$
$2=2!$
$145=1!+4!+5!$
$40585=4!+0!+5!+8!+5!$

Øvre grænse

Efter at have bestemt den øvre grænse for faktorioner, er det nemt (for eksempel ved udtømmende søgning) at vise, at der er præcis 4 sådanne tal.

Ethvert n-cifret tal ikke mindre end . Summen af fakulteterne af dets cifre overstiger dog ikke , hvor . Da det første tal vokser hurtigere end det andet (det første afhænger af n eksponentielt , og det andet - lineært ), og allerede . Derfor består alle faktorioner ikke af mere end 7 cifre. $\;10^{{n-1}}$ $9!\cdotn$ $\;9!=362880$ $10^{{8-1}}=10000000>9!\cdot 8=2903040$

Lignende argumenter hjælper med at bevise endeligheden af antallet af mange generaliserede faktorioner (se nedenfor).

Generaliseringer

I andre talsystemer

Faktorionstabel i talsystemer op til hexadecimal :

Grundlag	Maksimalt antal cifre	faktorioner
2	2	1, 10
3	2	12
fire	3	1, 2, 13
5	3	1, 2, 144
6	fire	1, 2, 41, 42
7	5	12
otte	5	12
9	6	1, 2, 62558
ti	7	1, 2, 145, 40585
elleve	otte	1, 2, 24, 44, 28453
12	otte	12
13	9	1, 2, 83790C5B
fjorten	ti	1, 2, 8B0DD409C
femten	elleve	1, 2, 661, 662
16	elleve	1, 2, 260F3B66BF9

k-faktorer

k-faktor - et tal, der er lig med summen af faktorerne af dets cifre, ganget med k. Så er de sædvanlige 1-faktorer.

Fuld lister over k-faktorer:

k=2: 817926
k=3: 138267, 1103790
k=4: 12, 32, 104, 23076
k=5: 10

Generaliseringer af Pickover

I sin bog Keys to Infinity foreslog Clifford A. Pickover ( 1995 ) følgende generaliseringer:

En faktorion af den anden slags er lig med produktet af dens cifres fakulteter, for eksempel: abc = a !⋅ b !⋅ c !
Faktorion af den tredje slags er lig med summen af fakulteter af tal dannet af grupper af cifre, for eksempel: abc = ( ab )! + c !

Originaltekst (engelsk)[ Visskjule] En mere frugtbar forskningsvej kan være søgningen efter faktorer "af den anden slags", som er dannet af produktet af faktorværdierne for hvert af deres cifre. Derudover dannes hypotetiske faktorioner "af den tredje slags" ved at gruppere cifre.

Begge definitioner genererer meget større tal end den sædvanlige definition. Selvom faktorioner af den anden slags i decimalsystemet kun er degenererede (1 og 2), findes flere faktorioner af den tredje slags (talgrupper er med fed skrift):

2 432 90 2 0 08 177 819 519
51 090 94 2 1 71 710 544 079
51 090 94 2 1 71 710 982 398
403 291 461 1 26 605 635 584 809 043
403 291 461 1 26 605 635 584 814 796

For generaliseringer af begge typer vides det ikke, om antallet af tilsvarende faktorioner er endeligt.

Litteratur

Gardner, M. "Faktoriske særheder." Ch. 4 i Mathematical Magic Show: Flere gåder, spil, adspredelser, illusioner og anden matematisk sans fra Scientific American. New York: Vintage, pp. 61 og 64, 1978.
Madachy, J.S. Madachys matematiske genskabelser. New York: Dover, s. 167, 1979.
Pickover, CA "The Loneliness of the Factorions." Ch. 22 i Keys to Infinity. New York: W.H. Freeman, pp. 169-171 og 319-320, 1995.
S. L. Vasilenko. Numeriske kampe . – 2012.