Euler ligninger

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 12. marts 2013; checks kræver 7 redigeringer .

I fysik beskriver Eulers ligninger rotationen af et stift legeme i et koordinatsystem relateret til kroppen selv.

Konklusion

I referencerammen for en ekstern observatør har ligningerne for rotationsbevægelse formen

{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf { I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)=\mathbf {M}

I denne form er ligningerne til lidt brug for praksis, da begge komponenter i momentet momentum - tensoren af inertimomentet og pseudovektoren af vinkelhastigheden - afhænger af tiden. Eulers idé var at flytte til en referenceramme, der var stift forbundet med et roterende legeme. I dette system er inertimomentet tensor konstant, og det kan tages ud som en afledt. For yderligere forenkling vælger vi dens vigtigste inertiakser som kroppens faste akser. Således kan vi opdele ændringen i vinkelmomentum i en komponent, der beskriver ændringen i størrelse, og en komponent, der kompenserer for denne retningsændring . $\mathbf{L}$ $\mathbf{L}$

Så har ligningerne formen:

\left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {relative} }+\mathbf {\omega } \times \mathbf {L} ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {N}

hvor er kroppens vinkelmomentum i forhold til de rumlige akser, er ændringen i kroppens vinkelmomentum i forhold til dets faste akser, ændringshastigheden af Euler-vinklerne af akserne forbundet med kroppen mhp. de rumlige akser, og er det ydre drejningsmoment. $\mathbf{L}$ $\left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {relativ} }$ $\mathbf{\omega}$ ${\mathbf {N}}$

hvis vi erstatter det med komponenter , så kan vi erstatte det med et udtryk . hvis vi vælger grundvektorerne til at falde sammen med kroppens hovedinertiakser, så er de første tre led lig , og de resterende tre er . $\mathbf{L}$ $I_{1}\omega _{1}\mathbf {e} _{1}+I_{2}\omega _{2}\mathbf {e} _{2}+I_{3}\omega _ {3}\mathbf {e} _{3}$ ${\frac {d\mathbf {L} }{dt))$ $I_{1}{\dot {\omega }}_{1}\mathbf {e} _{1}+I_{2}{\dot {\omega }}_{2}\mathbf {e} _{2}+I_{3}{\dot {\omega }}_{3}\mathbf {e} _{3}+{\frac {d\mathbf {e} _{1}}{dt}} \omega _{1}I_{1}+{\frac {d\mathbf {e} _{2}}{dt}}\omega _{2}I_{2}+{\frac {d\mathbf {e } } _{3}}{dt}}\omega _{3}I_{3}$ $(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3})$ $\left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {relativ} }$ $\mathbf {\omega } \times \mathbf {L}$

Så antager Euler-ligningerne i komponentform formen:

{\begin{matrix}N_{1}&=&I_{1}{\dot {\omega }}_{1}+(I_{3}-I_{2})\omega _{2}\ omega _{3}\\N_{2}&=&I_{2}{\dot {\omega }}_{2}+(I_{1}-I_{3})\omega _{3}\omega _ {1}\\N_{3}&=&I_{3}{\dot {\omega }}_{3}+(I_{2}-I_{1})\omega _{1}\omega _{2 }\\\end{matrix}}

Det er også muligt at bruge disse tre ligninger, hvis akserne, som det er skrevet i, ikke er relateret til kroppen. Så skal det erstattes af rotation af akserne i stedet for rotation af kroppen. Det er dog stadig påkrævet, at de valgte akser er de vigtigste inertiakser! Denne form for Euler-ligningerne er praktisk at bruge til objekter, der har rotationssymmetri , hvilket gør det muligt at vælge nogle af de vigtigste inertiakser vilkårligt. $\left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {relativ} }$ $\mathbf{\omega}$

Type af ligninger i et vilkårligt lokalt koordinatsystem

Det er muligt at vælge et lokalt system, der ikke falder sammen med kroppens hovedinertiakser. I dette tilfælde antager ligningerne formen

N_{s}=I_{sq}{\dot {\omega }}_{q}+\varepsilon _{stp}\omega _{t}I_{pq}\omega _{q},

hvor er kroppens inertietensor i det valgte lokale koordinatsystem. ${\displaystyle I_{sq))$

Se også

Eulers formel (kinematik af et stivt legeme) til forbindelse af hastighederne af punkter i et stivt legeme
Liste over objekter opkaldt efter Leonhard Euler