Appels ligninger

I klassisk mekanik betragtes Appels ligninger som en alternativ formulering af de generelle bevægelsesligninger foreslået af Newton. Afskediget af Paul Appel i 1900 [1] . På trods af det faktum, at disse ligninger er fuldstændig ækvivalente med ligningerne opnået fra Newtons love og princippet om mindste handling , viser Appells ligninger sig i nogle tilfælde at være mere bekvemme, især når systemet er begrænset af mekaniske begrænsninger .

Ordlyd

Lad et mekanisk system af materialepunkter med masser angives , på hvilke geometriske (1) og lineære kinematiske (2) begrænsninger er pålagt: $N$ $m_{1},m_{2},\dots,m_{N}$

(en)

f_{{\alpha }}({\mathbf {r}}_{1},...,{\mathbf {r}}_{N},t)=0,\quad \alpha =1,.. .,d

(2)

\sum _{{\nu =1}}^{{N}}{\mathbf {A}}_{{\beta \nu }}({\mathbf {r}}_{1},..., {\mathbf {r}}_{N},t)\cdot {\mathbf {{\dot {r}}}}_{\nu}+A_{{\beta }}({\mathbf {r}} _{1},...,{\mathbf {r}}_{N},t)=0,\quad \beta =1,...,g

Det er påkrævet at beskrive systemets bevægelse, hvis de aktive kræfter er kendte (kræfterne, der virker på hvert punkt afhænger af tid, placeringen af alle punkter og deres hastigheder), og systemets begyndelsestilstand er kendt (positionen og hastigheder for alle punkter i det indledende tidspunkt). ${\mathbf {F}}_{1},...,{\mathbf {F}}_{N}$

En af de vigtigste antagelser om et mekanisk system, som er nødvendig for gyldigheden af Appel-ligningerne, er, at de fremkommende begrænsningsreaktioner antages at være ideelle, det vil sige, at de ikke virker totalt på nogen virtuel forskydning af punkterne af systemet.

I tilfælde af et holonomisk system, når kinematiske begrænsninger er fraværende eller integrerbare (det vil sige de er reduceret til geometriske begrænsninger), har Appell-ligningerne formen:

(3)

{\frac {\partial S}{\partial {\ddot {q}}_{{k}}}}=G_{{k}}),\quad k=1,...,n

hvor

n=3N-d

er antallet af geometriske frihedsgrader for systemet;

q_{1},...,q_{n}

- et vilkårligt system af gensidigt uafhængige generaliserede koordinater , der parametriserer rummet af mulige geometriske positioner af systemet til enhver tid (således tager brugen af disse koordinater fuldt ud højde for de geometriske forhold, der pålægges systemet);

G_{1},...,G_{n}

- "generaliserede kræfter" - koefficienter i udvidelsen af det elementære arbejde af aktive kræfter på en vilkårlig virtuel forskydning :

\delta {\mathbf {r}}=(\delta {\mathbf {r}}_{1},...,\delta {\mathbf {r}}_{N})

\delta A=\mathbf {F} _{1}\delta \mathbf {r} _{1}+\ldots +\mathbf {F} _{N}\delta \mathbf {r} _{N }=G_{1}\delta q_{1}+\ldots +G_{n}\delta q_{n}

(4) er den såkaldte "accelerationsenergi", i formel (3) er værdien en funktion af tid, generaliserede koordinater og deres afledte af 1. og 2. orden.

S={\frac {1}{2}}\sum _{{\nu =1}}^{{N}}m_({\nu }}{\mathbf {{\ddot {r}}}}_ {{\nu }}^{2}

S

I det ikke-holonomiske tilfælde har Appel-ligningerne praktisk talt samme form (3), men i dette tilfælde involverer formlerne ikke generaliserede koordinater, men pseudokoordinater, som introduceres som følger:

(5) .

{\dot {\pi }}_{k}=\sum _{{i=1}}^{n}\lambda _{{ik}}{\dot {q}}_{i}+\lambda _ {k},\quad k=1,...,ng

I disse notationer angiver prikken over variabelnavnet ikke driften af differentiering med hensyn til tid, men er en del af et enkelt variabelnavn. Variablen , hvis tidsafledede ville falde sammen med det skrevne udtryk for nogen af systemets bevægelsesveje, eksisterer muligvis ikke, derfor omtales den som en pseudovariabel (eller en pseudokoordinat). Alle yderligere formler vil indeholde enten dens derivater (i det mindste af første orden) eller differentialer, så dens pseudo-essens vil ikke manifestere sig på nogen måde. $\pi _{k}$ $\pi _{k}$

Koefficienterne og kan afhænge af tidspunktet og koordinaterne for punkterne. Derudover skal de opfylde betingelsen om, at determinanten af koefficientmatricen for variable i det lineære system dannet af ligning (5) og (2) (skrevet i generaliserede koordinater) ikke forsvinder. $\lambda _{{ik}}$ $\lambda _{{i}}$ ${\dot {q}}_{i}$

I tilfælde af et ikke-holonomisk system har Appel-ligningerne formen:

(6)

{\frac {\partial S}{\partial {\ddot {\pi }}_{{k}}}}=G_{{k}},\quad k=1,...,ng

hvor

n=3N-d

er antallet af geometriske frihedsgrader for systemet;

\pi _{1},...,\pi _{{ng}}

— system af pseudo-koordinater;

G_{1},...,G_{{ng}}

- "generaliserede kræfter" - koefficienter i udvidelsen af de aktive kræfters elementære arbejde: ;

{\displaystyle \delta A=G_{1}\delta \pi _{1}+\ldots +G_{n}\delta \pi _{ng))

funktionen S er den samme som i (4), men udtrykt i form af variable (i notationen af variable er kun et af punkterne den afledede tid!).

t,q_{1},...,q_{n},{\dot {\pi }}_{1},...,{\dot {\pi}}_{{ng}},{\ ddot {\pi }}_{1},...,{\ddot {\pi }}_{{ng}}

{\ddot {\pi }}_{i}

For at opnå et komplet system af bevægelsesligninger for systemet er det nødvendigt at tilføje ligningerne for kinematiske begrænsninger (2) og pseudokoordinatformler (5) til Appel-ligningerne (6).

Noter

↑ Appell, P. "Sur une forme générale des équations de la dynamique." (fransk) // Journal für die reine und angewandte Mathematik : magazine. - 1900. - Bd. 121 . —S . 310—? .

Litteratur

P. Appels publikationer om dette emne

Yderligere læsning

Beryozkin E. N. Kurset for teoretisk mekanik - 2. udgave, revideret og suppleret - M . : Publishing House of Moscow State University - 1974, 645 s.