Ligning med en lille parameter

En ligning med en lille parameter er en skalar eller vektor differentialligning , hvori der er en koefficient , som er lille sammenlignet med andre. Denne parameter kan være på højre side af differentialligningen, og man taler om en regulær forstyrrelse af ligningen. Derudover kan en lille parameter stå ved den højeste afledede, i hvilket tilfælde man taler om en enkeltstående forstyrrelse.

Regelmæssigt forstyrret Cauchy-problem (oprindeligt problem):

{\begin{cases}{\dfrac {dy}{dt}}=f(y,t,\varepsilon ),&t\in (0,T]\\y(0,\varepsilon )=y^ {0}\end{cases}}

under visse forhold på højre side eksisterer dens løsning, er unik og har desuden en kontinuerlig afhængighed af den lille parameter . $\varepsilon$

For at løse ligninger med en lille parameter i matematisk fysik bruges specielle metoder. Dette skyldes tilstedeværelsen af forskellige effekter, herunder grænselagseffekten .

Nogle gange forstås en ligning med en lille parameter også som en ligning, hvor en lille parameter står ved normalafledningen i den naturlige randbetingelse.

Ofte i applikationer er der problemer, hvor en lille parameter er på den højeste afledede, for eksempel:

{\begin{cases}\varepsilon {\dfrac {dy}{dt}}=f(y,t,\varepsilon ),&t\in (0,T]\\y(0,\varepsilon )= y^{0}\end{cases}}

Sådan et problem kaldes sædvanligvis singularly perturbed. Hvis vi formelt sætter en lille parameter lig med nul, vil den første ligning i systemet ophøre med at være differential. Af denne grund opfylder løsningen af ligningen muligvis ikke startværdien . Det er i sådanne problemer, at grænselagseffekten kan observeres. Løsningen nær kvarteret til højre gennemgår en kraftig forandring. Denne region er karakteriseret ved store gradienter og omtales ofte som grænselagsregionen. Asymptotiske metoder bruges til at løse sådanne systemer. De mest berømte af dem er Tikhonov- metoden og Vasilyeva-metoden . $0=f(y,t,0)$ $y^{0}$ $t=0$

Litteratur

Differentialligninger med en lille parameter ved derivater - artikel fra Encyclopedia of Mathematics . A. V. Vasilyeva