Meshchersky ligning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 15. oktober 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Meshchersky-ligningen er den grundlæggende ligning i mekanikken for legemer med variabel masse, opnået af I. V. Meshchersky i 1897 [1] for et materielt punkt med variabel masse (sammensætning).

Ligningen er normalt skrevet i følgende form:

M(t){\frac {d{\mathbf v}}{dt}}={\mathbf u}_{1}(t){\frac {dm_{1}}{dt}}-{\mathbf u }_{2}(t){\frac {dm_{2}}{dt}}+{\mathbf F},

hvor:

$M(t)$ er massen af et materielt punkt, som ændres på grund af udvekslingen af partikler med omgivelserne, på et vilkårligt tidspunkt t;
${\mathbf v}$ er bevægelseshastigheden af et materialepunkt med variabel masse;
${\mathbf F}$ - resultatet af eksterne kræfter, der virker på et materialepunkt med variabel masse fra dets ydre miljø (herunder, hvis dette sker, fra den side af mediet, som det udveksler partikler med, f.eks. elektromagnetiske kræfter - i tilfælde af masseoverførsel med et magnetisk medium, modstanden af mediets bevægelse osv.);
${\mathbf u}_{1}(t)={\mathbf v}_{1}-{\mathbf v}$ er den relative hastighed af de sammenføjede partikler;
${\mathbf u}_{2}(t)={\mathbf v}_{2}-{\mathbf v}$ er den relative hastighed af de adskilte partikler;
${\frac {dm_{1}}{dt}}>0$ og er henholdsvis stigningshastigheden i den samlede masse af de vedhæftede partikler og stigningshastigheden i den samlede masse af de adskilte partikler. ${\frac {dm_{2}}{dt}}>0$

Tsiolkovsky-formlen kan opnås som et resultat af at løse denne ligning.

Størrelse:

{\mathbf F}_{r}={\mathbf u}_{1}{\frac {dm_{1}}{dt}}-{\mathbf u}_{2}{\frac {dm_{2} }{dt}}

kaldet "reaktiv effekt" .

Normalt [2] [3] [4] opnås Meshchersky-ligningen baseret på ligningen for ændringshastigheden af momentum af systemet af materielle punkter, som har formen:

{\frac {d{\vec {P}}}{dt}}={\vec F},

hvor er systemets impuls, lig med summen af impulserne af alle materielle punkter, der udgør systemet, og er resultatet af alle ydre kræfter, der virker på systemets kroppe. Nedenfor er en udledning af ligningen ved hjælp af netop en sådan tilgang. ${\vec P}$ ${\vec {F}}$

Afledning af Meshchersky-ligningen

Overvej en krop med variabel masse . Lad en lille masse slutte sig til kroppen over en periode , som havde en hastighed før sammenføjning , og en lille masse skiller , hvis hastighed efter adskillelse bliver lig med . Som systemet af interesse for os, vil vi betragte alle tre nævnte organer. $M=M(t)$ $dt$ $dm_{1}$ ${\vec {v}}_{1}$ $dm_{2}$ ${\vec {v}}_{2}$

I overensstemmelse med loven om bevarelse af momentum er systemets momentum ved begyndelsen og slutningen af den undersøgte proces den samme:

M{\vec {v}}+dm_{1}{\vec {v}}_{1}=M{\vec {v}}+d(M{\vec {v}})+dm_ {2}{\vec {v}}_{2},\qquad (1)

hvor er ændringen i hovedlegemets momentum på grund af både ændringen i dens hastighed og ændringen i dens masse. $d(M{\vec {v)))$

Under hensyntagen til, at fra (1) får vi: $d(M{\vec {v)))=dM{\vec {v}}+Md{\vec {v}}$

dm_{1}{\vec {v}}_{1}=dM{\vec {v}}+Md{\vec {v}}+dm_{2}{\vec {v}}_{2}. \qquad (2)

Ændringen i hovedlegemets masse er forbundet med og forholdet , derfor fra (2) følger det: $dM$ $dm_{1}$ $dm_{2}$ $dM=dm_{1}-dm_{2}$

dm_{1}({\vec {v}}_{1}-{\vec {v}})=Md{\vec {v}}+dm_{2}({\vec {v}}_{2 }-{\vec {v))).\qquad (3)

Efter at have gået fra differentialer til derivater og omarrangeret termerne, antager (3) formen:

M{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {dm_{1}}{dt}}({\vec {v}}_{1}-{\vec {v }})-{\frac {dm_{2}}{dt}}({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}}).\qquad (4)

Ved at introducere de relative partikelhastigheder og lig med henholdsvis og , og tilføje resultanten af eksterne kræfter , får vi Meshchersky-ligningen i sin endelige form. ${\vec {u}}_{1}$ ${\vec {u}}_{2}$ $({\vec {v}}_{1}-{\vec {v}})$ $({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}})$ $\vec{F}$

Relativistisk Meshchersky-ligning

De første værker [5] viet til studiet af raketters bevægelse under hensyntagen til relativistiske effekter var værker af Akkeret [6] og Zenger [7] .

Når man udleder Meshchersky-ligningen, egnet til tilfælde af hastigheder, der kan sammenlignes med lysets hastighed, bruges udtrykket for det relativistiske momentum . Som et resultat antager ligningen formen: ${\vec p}={\frac {m{\vec v}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))}$

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {M{\vec {v}}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}\right )={\vec {v}}_{1}\cdot {\frac {d}{dt}}\left({\frac {m_{1}}{{\sqrt {1-v^{2}/ c^{2}}}}}\right)-{\vec {v}}_{2}\cdot {\frac {d}{dt}}\left({\frac {m_{2}}{{ \sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}\right).

I denne ligning, i det generelle tilfælde, er relative hastigheder og ikke indført , da i det relativistiske tilfælde, tilføjelsen af hastigheder udføres anderledes. $({\vec {v}}_{1}-{\vec {v}})$ $({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}})$

I tilfælde af kun partikler adskilt med en hastighed, der er kolineær med rakettens hastighed, reduceres denne ligning til følgende form:

M{\frac {dv}{dt}}=-\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)u{\frac {dM}{dt}} ,

hvor er partiklernes hastighed i forhold til raketten. $u={\frac {v_{2}-v}{1-v_{2}\cdot v/c^{2}}}$

Opdagelseshistorie

Bevægelsesligningen for et materielt punkt med variabel masse for tilfælde af vedhæftning (eller adskillelse) af partikler blev opnået og grundigt undersøgt i masterafhandlingen af IV Meshchersky , forsvaret ved St. Petersborg Universitet den 10. december 1897 [8] . Den første rapport om bevægelsesligningen for et materielt punkt med variabel masse i det generelle tilfælde af samtidig vedhæftning og adskillelse af partikler blev lavet af I. V. Meshchersky den 24. august 1898 på et møde i matematik- og astronomi-sektionen af X Congress of Russiske naturforskere og læger i Kiev , blev det almindeligt kendt senere, efter arbejdet "Bevægelsesligninger for et punkt med variabel masse i det generelle tilfælde", offentliggjort i "Proceedings of St. Petersburg Polytechnic Institute" i 1904 [9] .

Det skal )1851_G.K.at ifølge,bemærkes

Noter

↑ Kosmodemyansky A. A. "Videnskabelig aktivitet af Ivan Vsevolodovich Meshchersky" s. 9-25 i bogen af I. V. Meshchersky. Arbejder på mekanikken i legemer med variabel masse. Ed. 1. — M.: GITTL, 1949. s.13.
↑ Sivukhin D.V. Almen kursus i fysik. — M .: Fizmatlit; MIPT Publishing House, 2005. - T. I. Mechanics. — S. 119-120. — 560 s. — ISBN 5-9221-0225-7 .
↑ Targ S. M. Et kort kursus i teoretisk mekanik. - M . : Højere skole, 1986. - S. 287-288. — 416 s.
↑ Irodov I. E. Grundlæggende love for mekanik. - M . : Højere skole, 1985. - S. 41. - 248 s.
↑ Sedov L. I. , Tsypkin A. G. Grundlæggende om makroskopiske teorier om tyngdekraft og elektromagnetisme. - M .: Nauka, 1989. S. 153.
↑ Aekeret I. Zur Theorie der Raketen // Helv-Physica. Acta.-1946. - T. 19, N 2-P. 103-112.
↑ Sanger E. Zur Mechanik der Photonen-Strahlantriebe. - Munchen, 1956 (russisk oversættelse: M .: IL, 1958).
↑ Meshchersky I. V. Arbejder med mekanikken i legemer med variabel masse. - M . : Statens forlag for teknisk og teoretisk litteratur, 1952. - S. 37.
↑ Meshchersky I. V. Arbejder med mekanikken i legemer med variabel masse. - M . : Statens forlag for teknisk og teoretisk litteratur, 1952. - S. 222.
↑ Udvikling af det grundlæggende i dynamikken i et system med variabel sammensætning og teorien om jetfremdrift. - M.: 1977
↑ "Studier i fysikkens og mekanikkens historie". Moskva: Nauka, 1986, s. 191-238

Litteratur

Meshchersky I. V. "Dynamics of a point of variabel masse" // I bogen. I. V. Meshchersky. Arbejder på mekanikken i legemer med variabel masse. Ed. 2. — M.: GITTL, 1952. — 280 s. s. 37-188.
Meshchersky I.V. , "Bevægelsesligningerne for et punkt med variabel masse i det generelle tilfælde" // I bogen. I. V. Meshchersky. Arbejder på mekanikken i legemer med variabel masse. Ed. 2. — M.: GITTL, 1952. — 280 s. s. 222-264.
Mikhailov G. K. "Om historien om dynamikken i systemer med variabel sammensætning" Izvestiya AN SSSR: Rigid Body Mechanics, 1975, nr. 5, s. 41-51.
Mikhailov GK Om historien om dynamikken i systemer med variabel sammensætning og teorien om jetfremdrift. M.: Institut for Mekanikproblemer ved Akademiet for Videnskaber i USSR, 1974.
Karagodin V. M. Teoretisk grundlag for kropsmekanik med variabel sammensætning. M.: Oborongiz, 1963. 178s.
Mekanik af legemer med variabel masse - en artikel fra Physical Encyclopedia
Kilchevsky N.A. Kursus i teoretisk mekanik. Bind 1. M .: Nauka, 1977. Kapitel IV "Dynamik af et punkt med variabel masse" Afsnit 221. - Afledning af Meshchersky-ligningen (s. 433-435).
Aizerman M.A. Klassisk mekanik. 2. udg. M.: Nauka, 1980. - 368s. Kapitel 3. Afsnit 9. Anvendelse af mekanikkens grundlæggende sætninger på bevægelsen af et system med variabel sammensætning. s. 107-120.
Veretennikov V. G. , Sinitsyn V. A. Teoretisk mekanik (tilføjelser til generelle afsnit). — M.: FIZMATLIT, 2006. — 416 s. - ISBN 5-9221-0703-8 (afsnit 2.5. Kinematik af et system med variabel sammensætning. s. 71-77; 3.4. Grundlæggende dynamiske størrelser af et system med variabel sammensætning. s. 91-94; 6.2. Problemet med massecentrets bevægelse under et legemes vekselvirkning med s. 170-172 6.3 Sætningen om ændringen i momentum af et system med variabel sammensætning s. 172-180 6.6 Anvendelse af sætningen vedr. ændringen i kinetisk energi til et system med variabel sammensætning, s. 200-207; 7.2. Den generelle ligningsanalytiske dynamik for et system af punkter med variabel masse, s. 215-227.)
Sedov L. I. Om den relativistiske teori om raketflyvning // Anvendt matematik og mekanik - 1986. - V. 50, no. 6.
Sedov L. I. , Tsypkin A. G. Grundlæggende om makroskopiske teorier om tyngdekraft og elektromagnetisme. — M.: Nauka, 1989. — 272 s. — ISBN 5-02-013805-3 . Kapitel III. afsnit 4. Relativistisk teori om raketflyvning.

Meshchersky ligning

Relativistisk Meshchersky-ligning

Opdagelseshistorie

Noter

Litteratur

Links