Trapezformet sinus

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 20. juni 2019; verifikation kræver 1 redigering .

Den trapezformede sinus er en stykkevis jævn funktion af en reel variabel med periode . Det er meget udbredt, for eksempel inden for elektro- og radioteknik . På et lukket interval er den trapezformede sinus givet af følgende formler: $2\pi$ $[0;2\pi ]$

$\sin _{tr}x={\frac {4x}{\pi )),\quad 0\leq x\leq {\frac {\pi }{4))$ ;

$\sin _{tr}x=1,\quad {\frac {\pi }{4}}\leq x\leq {\frac {3\pi }{4}}$

$\sin _{tr}x={\frac {4(\pi -x)}{\pi )),\quad {\frac {3\pi}{4))\leq x\leq {\ frac {5\pi }{4}}$

$\sin _{tr}x=-1,\quad {\frac {5\pi }{4}}\leq x\leq {\frac {7\pi }{4}}$

$\sin _{tr}x={\frac {4(x-2\pi )}{\pi )),\quad {\frac {7\pi}{4))\leq x\leq 2 \pi$

Fourier-serieudvidelse

Som enhver stykkevis jævn periodisk funktion af et reelt argument, kan den trapezformede sinus udvides til en Fourier-række. På grund af mærkværdigheden af den trapezformede sinus indeholder dens ekspansion til den trigonometriske Fourier-række ikke udtryk med cosinus.

Derudover indeholder den trapezformede sinus ikke ens harmoniske i sin ekspansion . De første par ekspansionskoefficienter er:

$b_{1}={\frac {8{\sqrt {2}}}{\pi ^{2}}},b_{3}={\frac {8{\sqrt {2}}}{ 9\pi ^{2}}},b_{5}=-{\frac {8{\sqrt {2}}}{25\pi ^{2}}},b_{7}=-{\frac { 8{\sqrt {2}}}{49\pi ^{2}}}$

Konvergensen af dekomponeringen af den trapezformede sinus til en Fourier-række er illustreret af grafen:

Ansøgning

Trapezformet sinus er meget udbredt i elektroteknik , da vekselstrøm af denne form er ret enkel at opnå fra jævnstrøm ved høj belastningseffekt[ angiv ] . Især i moderne UPS'er og invertere har udgangsspændingen oftest form af en trapezformet sinus. [1] Også den trapezformede sinus bruges til at analysere nogle problemer i teorien om oscillationer, hvor brugen af den sædvanlige (trigonometriske) sinus fører til en stærk komplikation af de endelige resultater. [2]

Trapezformet sinus

Fourier-serieudvidelse

Ansøgning

Links