Vogts sætning

Vogts sætning etablerer sammenhænge mellem grænsevinklerne for en plan kurve med monotont skiftende krumning ( spiralbue ) som funktion af stigende/faldende krumning.

Opkaldt efter den tyske matematiker Wolfgang Vogt ( Wolfgang Wilhelm Vogt , 1883-1916).

W. Vogts formulering

I den originale artikel [1] (Satz 12) er sætningen angivet som følger:

Lad og være to på hinanden følgende skæringspunkter af en kurve med monoton krumning og en ret linje , og vær vinklerne mellem korden og tangentstrålerne i punkterne og ligger på samme side af som buen . Så er vinklen større end, mindre end eller lig med, alt efter om krumningen stiger fra til , aftager eller forbliver konstant. $EN$ $B$ $g$ $\alfa$ $\beta$ $AB$ $EN$ $B$ $g$ ${\overset {\frown }{AB}}$ $\alfa$ $\beta$ $EN$ $B$

I artiklen [1] (samt i monografien [2] , Sætning 3-17) betragtes kun konvekse kurver [3] med kontinuert krumning . Kravet om konveksitet betyder, at krumningen er af konstant fortegn (fraværet af et bøjningspunkt på kurven). Faktisk taler vi i denne formulering om de absolutte værdier af krumning og vinkler . Andre beviser for denne sætning under de samme antagelser er givet i artiklerne [4] , [5] , [6] . $k(s)$ $|k(s)|$ $|\alpha |,\,|\beta |$

Sætningen er illustreret af venstre kolonne i figur 1.

Ændret udsagn af sætningen

Ændret version af Vogts sætning (se [7] , sætning 1)

betragter vinkler og som orienterede, målt i forhold til akkordens retning ; $\alfa$ $\beta$ $\overrightarrow {AB}$
er formuleret under hensyntagen til det naturlige tegn på krumning (i den forstand , hvor er hældningsvinklen for tangenten til kurven); $k(s)={\frac {\mathrm {d} \tau }{\mathrm {d} s)),$ $\tau(s)$
kræver ikke kontinuitet og konstant krumning;
strækker sig ikke kun til konvekse spiralbuer, men også til alle korte spiraler - dem, der ikke snoer sig omkring endepunkterne, dvs. ikke skærer komplementet af en akkord til en uendelig linje (selvom de kan skære selve akkorden, som f.eks. kurven i fig. 1). $A_{6}B_{6}$

Formulering:

Lad være krumningen af den korte spiral ved startpunktet , være dens krumning ved endepunktet . Derefter $k_{1}$ ${\overset {\frown }{AB}}$ $EN$ $k_{2}$ $B$

\operatorname {sgn}(k_{2}-k_{1})=\operatørnavn {sgn}(\alpha +\beta ),\qquad \qquad (1)

eller mere specifikt for tilfælde af stigende og faldende krumning,

{\begin{array}{llcc}{\text{if}}\quad k_{1}<k_{2}{:}\quad &\alpha {+}\beta >0,\quad &- \pi <\alpha \leq \pi ,\;&-\pi <\beta \leq \pi ;\\{\text{if}}\quad k_{1}>k_{2}{:}\quad & \alpha {+}\beta <0,\quad &-\pi \leq \alpha <\pi ,\;&-\pi \leq \beta <\pi .\end{array}}\qquad \qquad (2 )

Den højre kolonne i figur 1 illustrerer en modificeret version af Vogts sætning (for tilfældet med aftagende krumning). For eksempel er kurverne i fig. 1 er ens og har en negativ aftagende krumning: . Vogts uligheder betyder , at under hensyntagen til tegn på krumninger og orienterede vinkler, betyder eller i overensstemmelse med (1). $A_{1}B_{1}$ ${\displaystyle A_{4}B_{4))$ ${\displaystyle 0>k_{1}>k_{2))$ $k_{1}<k_{2}\;\Højrepil \;\alpha >\beta ,$ $|k_{1}|<|k_{2}|\;\højrepil \;|\alpha |>|\beta |,$ ${-k_{1}}<{-k_{2}}\;\Højrepil \;\alpha >{-\beta },$ $k_{1}>k_{2}\;\Højrepil \;\alpha +\beta <0,$

Ved at reflektere kurver 4-7 symmetrisk i forhold til akkorden (hvilket medfører en ændring i fortegn på y ), får vi eksempler med stigende krumning. $k_{1},k_{2},\alpha ,\beta$

Den geometriske betydning af summen $\alfa +\beta$

Lad et punkt bevæge sig langs en kort spiral fra til For hver position af det bevægelige punkt konstruerer vi en cirkelbue (fig. 2). Hældningsvinklen for tangenten til denne bue i punktet er angivet med . ${\overset {\frown }{AB}}$ $EN$ $b.$ $P(s)$ ${\overset {\frown }{APB}}$ $EN$ $\varphi (s)$

Funktionen er strengt monotonisk; $\varphi (s)$ $\lim \limits _{P\to A}\varphi (s)=\alpha ,$ $\lim \limits _{P\to B}\varphi (s)=-\beta .$
Buer fejer ${\overset {\frown }{APB}}$ linse - et område afgrænset af to cirkulære buer baseret på en korde , hvoraf den ene har en fælles tangent med spiralen i punktet , den anden - ved punktet $AB$ $EN$ $b.$
Enhver kort spiral med grænsevinkler og er indesluttet inde i linsen (sætning 2 i [7] ). $\alfa$ $\beta$
Summen er i absolut værdi lig med linsens vinkelbredde, og dens fortegn svarer til stigningen / faldet i krumningen. $\sigma =\alpha +\beta$ ${\displaystyle {}^{(+)))$ ${\displaystyle {}^{(-)))$

Generalisering af sætningen

En yderligere generalisering af Vogts sætning vedrører vilkårligt snoede spiraler, for hvilke vinkler omdefineres i en kumulativ forstand, som "vinkler, der husker deres historie." $\alpha ,\,\beta$

Overvej på en spiral af længde et punkt, der bevæger sig fra til . For en tilstrækkelig lille ( kort ) bue er værdierne af grænsevinklerne og målt i forhold til retningen af den bevægelige akkord tæt på nul, og når punktet bevæger sig væk fra dem , kan de nå værdier ${\overset {\frown }{AB}}$ $S$ $P(s)$ $A=P(0)$ $B=P(S)$ ${\overset {\frown }{AP}}(r)$ $\alpha (s)$ $\beta (s)$ ${\overrightarrow {AP}}(r),$ $P$ $EN$ $\pm \pi .$ $\alpha (s)$ $\beta (s)$ $\pi.$

{\widetilde {\alpha }}=\alpha (S),\quad {\widetilde {\beta }}=\beta (S).

Så i fig. 3 når vinklen værdien når punktet når positionen , hvorefter . $\beta (s)$ $+\pi$ $P(s)$ $P_8$ $\beta (s)>\pi$

Papiret [8] (sætning 1) viser, at summen er en monoton funktion af buelængden, stigende eller aftagende ligesom krumningen . Funktionen er strengt monoton , bortset fra den indledende sektion af konstant krumning (hvis nogen), inden for hvilken formuleringen (1) således strækker sig til lange spiraler i formen $\sigma (s)=\alpha (s)+\beta (s)$ $k(s)$ $\sigma (s)$ $\sigma (s)\equiv 0.$

\operatorname {sgn}(k_{2}-k_{1})=\operatørnavn {sgn}({\widetilde {\alpha }}+{\widetilde {\beta }}).

Relaterede udsagn [8] :

I den lineære brøkvisning af spiralen bevares værdien . $\sigma$
Variationen i helixens rotation er begrænset af uligheder og forbliver inden for disse grænser, når helixen vendes om. $|\sigma |<\mathrm {Var} \,\tau (s)<|\sigma |+2\pi$

Omvendt sætning

Som et udsagn i modsætning til Vogts teorem formulerer A. Ostrovsky betingelser, der tillader eksistensen af en (konveks) spiralbue med givne grænsevinkler [6] . I den "orienterede" version tager de form af uligheder (2).

I [2] (sætning 3-18) formuleres styrkede betingelser for det tilfælde, hvor der udover vinklerne er angivet værdierne for grænsekrumningsradierne.

I [7] (sætning 3) udvides disse betingelser til korte (og ikke kun konvekse) spiraler: For eksistensen af en kort spiral , der ikke er en bideg , med grænsevinkler og krumninger , er det nødvendigt og tilstrækkeligt at opfylde betingelser ( 2) og uligheden , hvor ${\overset {\frown }{AB)),$ $\alpha ,\;\beta$ ${\displaystyle k_{1},\;k_{2))$ $Q<0$

Q=(k_{1}c+\sin \alpha )(k_{2}c-\sin \beta )+\sin ^{2}{\frac {\alpha {+}\beta }{2} },\quad c={\frac {1}{2}}|AB|\,.\qquad \qquad (3)

Hvis spiralen er en bidug , så $Q=0\,.$

Forklaring og eksempel på konstruktion

Lad og være grænsecirklerne for krumning af spiralbuen , være deres skæringsvinkel. Så betyder uligheden , at vinklen er rent imaginær. Dette kan igen fortolkes som følger: cirklerne og har ikke fælles punkter og er placeret på en sådan måde, at deres skæringspunkt, når de nærmer sig, vil blive forudgået af en berøring - sammenfaldet af orienterede tangenter i et fælles punkt. ${\mathcal {K}}_{A}$ ${\mathcal {K}}_{B}$ $AB$ $\psi$ $Q=\sin ^{2}{\frac {\psi }{2)),$ $Q<0$ $\psi$ ${\mathcal {K}}_{A}$ ${\mathcal {K}}_{B}$

Uligheden gælder for ethvert par grønne cirkler i fig. 4. Ved vilkårligt at vælge startpunktet på den ene af dem og slutpunktet på den anden, kan du bygge en spiralbue, for hvilken cirklerne vil være krumningsgrænsecirklerne. Et eksempel på en sådan konstruktion er vist i et fragment af figur 4 med en stiplet linje ( ). $Q<0$ $EN$ $B$ ${\mathcal {K}}_{A}$ ${\mathcal {K}}_{B}$ $Q=-0,88$ $|AB|=2c=2,$ $\alpha \approx -78,34^{\circ },$ $k_{1}\ca. 1,73,$ $\beta \approx -38.34^{\circ },$ $k_{2}\approx -2,76$

Enhver to blå cirkler er tangenter, og for dem For punkterne og valgt på fragmentet er den eneste mulige spiralbue en bidug (afbildet med prikker) og falder sammen med cirklerne og . $Q=0\;(\psi =0).$ $Q=0$ $EN$ $B$ $AB$ ${\mathcal {K}}_{A}$ ${\mathcal {K}}_{B}$

For ethvert par krydsende (brune) cirkler er det umuligt at bygge en spiral med sådanne krumningscirkler. Det er også umuligt for par af røde cirkler : de har enten ( , "modberøring") eller $Q=1$ $\psi =\pm\pi$ $Q>1.$

Værdien (3) afhænger ikke af valget af punkter og af cirkler og kan for eksempel udtrykkes i form af deres krumninger og center-til-center afstand : $Q$ $EN$ $B$ $L$

k_{1}k_{2}\neq 0\quad \Longrightarrow \quad Q={\frac {(k_{1}k_{2}L)^{2}-(k_{2}{-} k_{1})^{2}}{4k_{1}k_{2}}}.

Problemet med at konstruere en spiralbue med givne randbetingelser i enderne er blevet aktivt diskuteret i CAD - applikationer i de seneste årtier (se f.eks. artikler [9] og [10] ).

Links og noter

↑ 1 2 Vogt W. Über monotongekrümmte Kurven // Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1914. - nr. 144 . - S. 239-248 .
↑ 1 2 Guggenheimer HW Differentialgeometri. - New York: Dover Publications, 1977. - S. 48. - ISBN 0-486-63433-7 .
↑ ... altså sådan, at buen og dens akkord danner en konveks figur .
↑ Katsuura S. Ein neuer Beweis des Vogtschen Satzes // Tohoku Mathematical Journal . - 1940. - T. 47 . - S. 94-95 .
↑ Hirano K. Simple beviser for Vogts sætning // Tohoku Mathematical Journal . - 1940. - T. 47 . - S. 126-128 .
↑ 1 2 Ostrowski A. Über die Verbindbarkeit von Linien- und Krümmungselementen dürch monoton gekrümmte Kurvebogen // Enseignement Math., Ser.2. - 1956. - Nr. 2 . - S. 277-292 .
↑ 1 2 3 Kurnosenko A.I. Korte spiraler // Noter fra videnskabelige seminarer POMI. - 2009. - S. 34-43 . [en]
↑ 1 2 Kurnosenko A.I. Lange spiraler // Notes of Scientific Seminars POMI. - 2009. - S. 44-52 . [2]
↑ Goodman TNT, Meek DS, Walton DJ En involut spiral, der matcher G2 Hermite-data i flyet // Computer Aided Geometric Design. - 2009. - Bd. 26 , nr. 7 . - s. 733-756 . - doi : 10.1016/j.cagd.2009.03.009 . Arkiveret fra originalen den 5. september 2019.
↑ Kurnosenko AI To-punkts G2 Hermite interpolation med spiraler ved inversion af hyperbel // Computer Aided Geometric Design. - 2010. - Bd. 27 , nr. 6 . - S. 474-481 . - doi : 10.1016/j.cagd.2010.03.001 . Arkiveret fra originalen den 5. september 2019.

Se også

Spiral: definitioner baseret på monotoniteten af krumning .
Biduga .