Sylvesters sætning

Sylvesters teorem er et klassisk resultat af kombinatorisk geometri på linjekonfigurationer i planet.

Ordlyd

Et begrænset antal punkter er givet på planet, og sådan at enhver linje, der går gennem to af de givne punkter, indeholder et mere givet punkt. Så ligger alle givne punkter på samme linje.

Om beviser

Sylvesters sætning er berømt for at være ret svær at bevise direkte, og det enkle bevis er at gå til dens dobbelte omformulering:

Hvis et begrænset sæt linjer er givet på et plan, således at en mere af dem passerer gennem et hvilket som helst skæringspunkt mellem to givne linjer, så passerer de alle gennem et punkt eller er parallelle.

Bevis for den dobbelte omformulering

Lad en af de givne linjer ikke passere gennem et af skæringspunkterne . Find skæringspunktet og den linje, hvor afstanden er mindre end fra til . Da antallet af skæringspunkter er begrænset, vil dette give en modsigelse. Tilfældet, hvor en ret linje går igennem, ikke parallel , er vist på figuren. Hvis linjen, der går gennem den tredje linje, er parallel med linjen , så overvej en trekant, hvis midterlinjer danner en trekant , hvor og er skæringspunkterne mellem to linjer, der går gennem linjen . Hvis den tredje linje, der går igennem , ikke skærer segmentet , så er afstanden fra punktet til det mindre end til . Tilsvarende, hvis den tredje linje, der går igennem , ikke skærer segmentet , så er afstanden fra punktet til det mindre end til . Hvis den tredje linje, der går igennem, skærer segmentet, og den tredje linje, der går igennem, skærer segmentet , så er der et skæringspunkt for disse linjer. Hvis det ikke falder sammen med , så er det tættere på en lige linje end . Hvis det falder sammen med , så anvender vi ovenstående ræsonnement på den og på linjen . En trekant vises , hvis midterlinjer danner en trekant . Ved at erstatte en trekant med en trekant i vores ræsonnement og gå frem på lignende måde, opnår vi en modsigelse med mængdens endelighed. ■ $\ell$ $P$ $P$ $\ell$ $P$ $\ell$ $P$ $\ell$ $A'B'P'$ $ABP$ $EN$ $B$ $P$ $\ell$ $EN$ $BP'$ $P$ $\ell$ $B$ $AP'$ $P$ $\ell$ $EN$ $BP'$ $B$ $AP'$ $P'$ $\ell$ $P$ $P'$ $\ell$ $PP''P'''$ $ABP'$ $ABP$ $P''P'A$

Direkte bevis

Direkte bevis blev fundet et halvt for sent Kelly

Antag, at punkterne i dette sæt er ikke-kollineære. Vælg et par: dets punkt og linje , hvor afstanden fra til er den mindste positive; et sådant par eksisterer på grund af endeligheden af sættene af punkter og forbindelseslinjer. Vi markerer tre punkter: , og fra det givne sæt. Lad punktet være bunden af den vinkelrette faldet fra til . Uden tab af almenhed kan vi antage, at punkterne , og følge videre i den angivne rækkefølge; mens punkterne og kan falde sammen. Så er afstanden fra punktet til linjen positiv og mindre end fra til . Modsigelse. ■ $EN$ $d$ $EN$ $d$ $d$ $B$ $C$ $D$ $P$ $EN$ $d$ $P$ $B$ $C$ $d$ $P$ $B$ $B$ $AC$ $EN$ $d$

Bemærk

Da beviset ikke bruger betingelsen om, at alle punkter ligger i et plan, kan Sylvesters sætning udvides til mængder i et euklidisk rum af vilkårlig dimension.

Se også

De Bruijn-Erdős sætning

Litteratur

Aigner M. Ziegler G. Beviser fra bogen. Det bedste bevis fra Euklids tid til i dag. - Forlaget "Laboratory of Knowledge" (tidligere "BINOM. Laboratory of Knowledge"), 2014. - ISBN 978-5-9963-2736-2 . (Kapitel 10).