Rolles sætning

Rolles sætning ( nulafledte sætning ) siger, at

Hvis en reel funktion, der er kontinuert på et segment og differentierbar på et interval, tager de samme værdier i enderne af segmentet , så er der mindst et punkt på intervallet, hvor den afledede af funktionen er lig med nul. $[a,b]$ $(a,b)$ $[a,b]$ $(a,b)$

Bevis

Hvis funktionen på intervallet er konstant, så er udsagnet indlysende, da den afledede af funktionen er lig med nul på ethvert punkt i intervallet.

Hvis ikke, da værdierne af funktionen ved segmentets grænsepunkter er ens, så tager den ifølge Weierstrass-sætningen sin største eller mindste værdi på et tidspunkt i intervallet, det vil sige, at den har et lokalt ekstremum på dette tidspunkt, og ved Fermats lemma , er den afledte på dette tidspunkt lig med 0.

Geometrisk sans

Sætningen siger, at hvis ordinaterne af begge ender af en glat kurve er ens, så er der et punkt på kurven, hvor tangenten til kurven er parallel med x-aksen.

Konsekvenser

Hvis en differentierbar funktion forsvinder på forskellige punkter, så forsvinder dens afledte i det mindste på forskellige punkter [1] , og disse nulpunkter af den afledte ligger i det konvekse skrog af den oprindelige funktions nuller. Denne konsekvens kan let verificeres for tilfælde af rigtige rødder, men den gælder også i det komplekse tilfælde. $n$ $n-1$

Hvis alle rødderne af et polynomium af n. grad er reelle, så er rødderne af alle dets afledte til og med også udelukkende reelle. $n-1$

En differentierbar funktion på segmentet mellem dets to punkter har en tangent parallel med sekanten/akkorden trukket gennem disse to punkter.

Se også

Generaliserede Rolles sætning
Finite Increment Formel
Cauchy middelværdisætning

Noter

↑ N. S. Bakhvalov, N. P. Zhidkov , G. M. Kobelkov — Numeriske metoder, s.43

Litteratur

Fikhtengol's G.M. Fundamentals of Mathematical Analysis. - M . : " Nauka ", 1962. - T. 1. - S. 225. - 607 s.