Routh-sætning

Rouths sætning definerer forholdet mellem arealet af en given trekant og arealet af en trekant dannet af tre parvis skærende cevianer . Sætningen siger, at hvis punkterne , og ligger på siderne i en trekant , henholdsvis , angiver , og , det orienterede område af trekanten dannet af ceviane og med hensyn til arealet af trekant er udtrykt ved relationen $ABC$ $D$ $E$ $F$ $f.Kr$ $CA$ $AB$ ${\tfrac {CD}{BD}}$ $=x$ ${\tfrac {AE}{CE}}$ ${\displaystyle=y}$ ${\tfrac {BF}{AF}}$ ${\displaystyle=z}$ $AD$ $VÆRE$ $CF$ $ABC$

{\frac {(xyz-1)^{2}}{(xy+y+1)(yz+z+1)(zx+x+1)))

Sætningen blev bevist af E. J. Rouse på side 82 i hans Treatise on Analytical Statics med talrige eksempler i 1896. I et bestemt tilfælde er sætningen den velkendte en-syvende arealtrekantsætning . I tilfælde af medianen skæres ved tyngdepunktet . $x=y=z=2$ $x=y=z=1$

Bevis

Lad os indstille arealet af trekanten til at være . For en trekant og en linje , ved hjælp af Menelaos-sætningen , får vi: $ABC$ $en$ $ABD$ $FRC$

{\frac {AF}{FB}}\time {\frac {BC}{CD}}\time {\frac {DR}{RA}}=1

Så er arealet af trekanten derfor ${\frac {DR}{RA}}={\frac {BF}{FA}}\ gange {\frac {DC}{CB}}={\frac {zx}{x+1}}$ $ARC$

S_{ARC}={\frac {AR}{AD}}S_{ADC}={\frac {AR}{AD}}\ gange {\frac {DC}{BC}}S_{ABC}= {\frac {x}{zx+x+1}}

På samme måde får vi: og således er trekantens areal : $S_{BPA}={\frac {y}{xy+y+1}}$ $S_{CQB}={\frac {z}{yz+z+1))$ $PQR$

{\displaystyle \displaystyle S_{PQR}=S_{ABC}-S_{ARC}-S_{BPA}-S_{CQB))

=1-{\frac {x}{zx+x+1}}-{\frac {y}{xy+y+1}}-{\frac {z}{yz+z+1}}

={\frac {(xyz-1)^{2}}{(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1))).

Links

Murray S. Klamkin, A. Liu (1981) "Three more proofs of Routh's theorem", Crux Mathematicorum 7:199-203.
HSM Coxeter (1969) Introduction to Geometry, s. 211, 219-220, 2. udgave, Wiley, New York.
JS Kline, D. Velleman. (1995) "Yet another proof of Routh's theorem" (1995) Crux Mathematicorum 21:37-40
Jay Warendorff. Rouths sætning Wolfram-demonstrationsprojektet .
Weisstein, Eric W. Routh's Theorem (engelsk) på Wolfram MathWorld -webstedet .
Rouths sætning efter krydsprodukter - MathPages
Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) "Rouths teorem revisited", Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.