Pestov-Ionins sætning

Pestov-Ionin- sætningen er en klassisk sætning i differentialgeometrien af ​​plane kurver , en generalisering af fire-vertex-sætningen .

Sætningen blev formuleret af Abram Ilyich Fet , bevist af tyske Gavrilovich Pestov , dens bevis blev væsentligt forenklet af Vladimir Kuzmich Ionin [1] . For konvekse kurver var resultatet kendt meget tidligere. [2]

Ordlyd

Ethvert område af planet afgrænset af en glat lukket kurve med krumning på højst 1 indeholder en cirkel med radius 1.

Variationer og generaliseringer

• En stærkere påstand følger af beviset for Pestov og Ionin: for enhver simpel glat lukket regulær kurve på planet er der to punkter, hvor tangentcirklen er indeholdt i et lukket område inde i kurven; der er også to punkter, hvor tangentcirklen er indeholdt i det ydre lukkede område af kurven.
  • De punkter, hvor den rørende cirkel ligger på den ene side af kurven, er kurvens toppunkter , hvilket betyder, at ovenstående udsagn er en styrkelse af sætningen med fire toppunkter . [3]

• Et lignende resultat i rummet er ikke sandt, nemlig at der er indlejringer af en kugle med hovedkrumninger, der ikke overstiger 1 i absolut værdi, således at området afgrænset af det ikke indeholder en kugle med radius 1. [4]

Noter

1. ↑ Pestov, G. G., Ionin V. K. På den største cirkel indlejret i en lukket kurve // ​Reports of the Academy of Sciences of the USSR . - 1959. - T. 127 , nr. 6 .
2. ↑ Wilhelm Blaschke Kreis und Kugel, Leipzig, Veit 1916, 3. Auflage, Berlin, de Gruyter 1956; Russisk oversættelse Circle and ball , M .: Nauka, 1967, kapitel IV §24.
3. ↑ A. Petrunin, S. Zamora Barrera. Måne i en vandpyt og fire-top-sætningen  (engelsk)  // Amer. Matematik. Månedlige. - 2022. - Bd. 129 , nr. 5 . Arkiveret fra originalen den 28. juni 2022.
4. ↑ V. N. Lagunov. "På den største kugle indlejret i en lukket overflade, II". Siberian Mathematical Journal 2.6 (1961), s. 874-883.