Nash-sætning om almindelig indlejring

Nashs regulære indlejringssætning , nogle gange kaldet den grundlæggende sætning for Riemannsk geometri , er påstanden om, at enhver Riemannmanifold tillader en jævn indlejring i et euklidisk rum af tilstrækkelig høj dimension. Formelt indrømmer enhver dimensionel Riemann-manifold af klasse , , en isometrisk indlejring i tilstrækkelig stor . $m$ $(V^{m},\;g)$ $C^{r}$ $3\leqslant r\leqslant \infty$ $C^{r}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $n$

Etableret af den amerikanske matematiker John Nash gav Nash også et eksplicit estimat på , som blev forbedret flere gange senere, især er sætningen gyldig for [1] . $n\geqslant m(m+1)(3m+11)/2$ $n\geqslant m^{2}+10m+3$

Beviset introducerede en ny metode til løsning af differentialligninger, den såkaldte Nash-Moser-sætning , som oprindeligt blev bevist af Nash. En væsentlig forenkling af beviset blev givet af Matthias Günther . [2]

Variationer og generaliseringer

Nash-Kuiper-sætningen er et lignende resultat for -glatte indlejringer. $C^1$
En lignende sætning for pseudo-riemannske manifolder følger af Nash-sætningen, men den kan bevises uden at bruge Nash-Moser-sætningen . Det er kun muligt at konstruere en isometrisk indlejring i et pseudo-euklidisk rum ved hjælp af Nash-drejninger.
Enhver glat kompakt Finsler-manifold med strengt konvekse normer tillader en isometrisk indlejring i et endeligt -dimensionelt Banach-rum . [3] .
Et lignende resultat er gyldigt for analytiske indlejringer, også etableret af Nash , men meget senere [4] .
Pozniaks sætning siger, at enhver skive i planet med en riemannsk metrik tillader en isometrisk nedsænkning i det 4-dimensionelle euklidiske rum. [5] $(\mathbb {R} ^{2},g)$

Noter

↑ se s. 319, Gromov M. , Partial differential relations, Mir 1990
↑ Matthias Günther, Om forstyrrelsesproblemet forbundet med isometriske indlejringer af Riemann-manifolder, Annals of Global Analysis and Geometry 7 (1989), 69-77.
↑ D. Yu. Burago , S. V. Ivanov . Isometriske indlejringer af Finsler-manifolds // Algebra i Analiz. - 1993. - V. 5 , nr. 1 . - S. 179-192 . (Russisk)
↑ J. Nash . Analyticitet af løsninger på implicitte funktionsproblemer med analytiske inputdata // Uspekhi Mat . Nauk . - 1971. - T. 26 , nr. 4 (160) . - S. 217-226 .
↑ E. G. Poznyak . Isometriske fordybelser af todimensionelle riemannske metrikker i euklidiske rum // Uspekhi Mat . - 1973. - T. 28 , nr. 4 (172) . — s. 47–76 .

Litteratur

J. Nash . Indlejringsproblemet for Riemannske manifolder // Uspekhi Mat . - 1971. - T. 26 , nr. 4 (160) . - S. 173-216 .