Moris sætning

Morries lov er et tilfældigt navn for følgende trigonometriske identitet

\cos(20^{\circ })\cdot \cos(40^{\circ})\cdot \cos(80^{\circ })={\frac {1}{8)).

Dette er et særligt tilfælde af den mere generelle identitet

2^{n}\cdot \prod _{{k=0}}^{{n-1}}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\ alpha )}{\sin(\alpha )))

ved n = 3 og a = 20°. "Moris teorem" har fået sit navn fra Richard Feynman , som brugte denne identitet under dette navn. Feynman brugte dette navn, fordi han som barn lærte den specificerede identitet af en dreng ved navn Maury Jacobs og efterfølgende huskede teoremet resten af sit liv under dette navn. [en]

Et lignende forhold for sinus gælder også:

\sin(20^{\circ })\cdot \sin(40^{\circ})\cdot \sin(80^{\circ})={\frac {\sqrt {3}}{8 }}

.

Ved at dividere den anden identitet med den første, får vi desuden identiteten for tangenten:

\operatorname {tg} (20^{\circ })\cdot \operatorname {tg} (40^{\circ})\cdot \operatorname {tg} (80^{\circ})={\sqrt {3}}=\operatørnavn {tg} (60^{\circ }).

Bevis

Vi bruger den velkendte formel for sinus af en dobbelt vinkel

\sin(2\alpha )=2\sin(\alpha )\cos(\alpha ).

Udtryk herfra , får vi $\cos(\alpha )$

\cos(\alpha )={\frac {\sin(2\alpha )}{2\sin(\alpha ))).

Så har vi

{\begin{aligned}\cos(2\alpha )&={\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )))\\[6pt]\cos(4\alpha ) &={\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\\&{}\,\,\,\vdots \\\cos(2^{{n-1 }}\alpha )&={\frac {\sin(2^{{n}}\alpha )}{2\sin(2^{{n-1}}\alpha ))).\end{aligned} }

Ved at multiplicere henholdsvis de venstre dele af disse ligheder på hinanden og de højre dele - på hinanden får vi:

\cos(\alpha )\cos(2\alpha )\cos(4\alpha )\cdots \cos(2^{{n-1}}\alpha )={\frac {\sin(2\alpha )} {2\sin(\alpha )}}\cdot {\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )))\cdot {\frac {\sin(8\alpha )}{ 2\sin(4\alpha )}}\cdots {\frac {\sin(2^{{n}}\alpha )}{2\sin(2^{{n-1}}\alpha ))).

Efter at have reduceret brøkerne, vil der være en sinus fra den sidste tæller og en sinus fra den første nævner, samt 2 i potensen af n i nævneren:

\prod _{{k=0}}^{{n-1}}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2^{ n}\sin(\alpha )}},

Denne identitet er den generelle form for Moris sætning.

Noter

↑ W. A. Beyer, J. D. Louck og D. Zeilberger , En generalisering af en nysgerrighed, som Feynman huskede hele sit liv , Math. Mag. 69, 43-44, 1996.

Links

Weisstein, Eric W. Morries lov (engelsk) på Wolfram MathWorld -webstedet .