Myers' sætning

Myers' sætning er en klassisk sætning i Riemannsk geometri .

Ordlyd

Hvis Ricci-krumningen af en komplet -dimensional Riemannmanifold er afgrænset nedenfor af en positiv værdi for nogle , så overstiger dens diameter ikke . Desuden, hvis diameteren er , så er selve manifolden isometrisk med en kugle med konstant tværsnitskrumning . $n$ $M$ $(n-1)k$ $k$ $\pi /{\sqrt {k))$ $\pi /{\sqrt {k))$ $k$

Konsekvenser

Dette resultat forbliver gyldigt for den universelle dækning af sådan en Riemann-manifold . Især den universelle beklædning er finit-sheeted, og derfor er grundgruppen endelig. $M$ $M$ $\pi _{1}M$

Historie

For todimensionelle overflader blev sætningen bevist af Hopf og Rinow. [en]

Sætningen er undertiden opkaldt efter Ossian Bonnet på grund af hans andet resultat om klassificering af overflader med positiv Gaussisk krumning, [2] (dette resultat er ikke direkte relateret til udsagnet af Myers' sætning).

Sætningen blev bevist af Myers . [3]

Ligestillingstilfældet i teoremet blev bevist af Cheng i 1975. [fire]

Se også

Gromov kompaktitetssætning (Riemannsk geometri)

Noter

↑ Hopf, H.; Rinow, W.; Ueber den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche. (tysk) Kommentar. Matematik. Helv. 3 (1931), nr. 1, 209-225.
↑ Bonnet, Ossian. "Sur quelques proprietes des lignes geodésiques." CR Acad. sci. Paris 40 (1855): 1311-1313
↑ Myers, S. B. (1941), Riemannian manifolds with positive mean curvature , Duke Mathematical Journal bind 8(2): 401–404 , DOI 10.1215/S0012-7094-41-00832-3
↑ Cheng, Shiu Yuen (1975), Egenværdisammenligningssætninger og dets geometriske anvendelser , Mathematische Zeitschrift T. 143 (3): 289–297, ISSN 0025-5874 , DOI 10.1007/BF01214381