Levitskys sætning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 9. april 2022; checks kræver 2 redigeringer .

Levitskys sætning , opkaldt efter den israelske matematiker Yaakov Levitsky , siger, at ethvert ensidigt nul-ideal i en højre Noether-ring nødvendigvis er nilpotent [1] [2] . Sætningen er et af mange resultater, der vidner om rigtigheden af ​​Koethe-formodningen , og desuden giver en løsning på et af Koethes spørgsmål, som beskrevet i Levitskys papir [3] . Resultatet blev opnået i 1939, men først offentliggjort i 1950 [4] . Et relativt simpelt bevis blev givet af Utumi i 1963 [5] .

Bevis

Nedenfor er Utumis ræsonnement (som beskrevet i Lams artikel [6] )

Lemma [7]

Antag, at R opfylder den stigende kæde termineringsbetingelse på annihilatorerne af formen , hvor a hører til R . Derefter

  1. Ethvert ensidigt nul-ideal er indeholdt i et lavere nul-radikal ;
  2. Enhver ikke-nul højre nilideal indeholder et ikke-nilpotent højre ideal.
  3. Ethvert venstre nilideal, der ikke er nul, indeholder et ikke-nul-nilpotent venstreideal.
Levitskys sætning [8]

Lad R være en højre Noether-ring. Så er enhver ensidig nilideal R nilpotent. I dette tilfælde er de øvre og nedre nilradikaler lige store, og desuden er dette ideal det største nilpotente ideal blandt nilpotente højre idealer og blandt nilpotente venstre idealer.

Bevis : I kraft af lemmaet ovenfor er det tilstrækkeligt at vise, at det nederste nulradikal R er nilpotent. Da R er en højre Noether-ring, eksisterer der et maksimalt nilpotent ideal N. Maksimaliteten af ​​N indebærer, at kvotientringen R / N ikke har nogen non-nilpotente idealer, så R / N er en semisimple ring . Som et resultat indeholder N det nederste nulradikal i ringen R. Da den nedre nilradikal indeholder alle nilpotente idealer, indeholder den også N , og så er N lig med den lavere nilradikal.

Se også

Noter

  1. ↑ Herstein, 1968 , s. 37 Sætning 1.4.5.
  2. ↑ Isaacs, 1993 , s. 210 Sætning 14,38.
  3. ↑ Lewitzki, 1945 .
  4. ↑ Lewitzki, 1950 .
  5. ↑ Utumi, 1963 .
  6. ↑ Lam, 2001 , s. 164-165.
  7. ↑ Lam, 2001 , s. Lemma 10.29.
  8. ↑ Lam, 2001 , s. Sætning 10.30.

Litteratur