Lagranges serieinversionssætning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 27. december 2018; checks kræver 2 redigeringer .

Lagranges serieinversionssætning gør det muligt eksplicit at skrive det inverse af en given analytisk funktion som en uendelig række. Sætningen har anvendelser i kombinatorik.

Ordlyd

Lad funktionen være analytisk ved punktet og . Så, i et eller andet område af punktet , kan funktionen omvendt til det repræsenteres af en række af formen $f(z)$ $z_{0}$ $f'(z_{0})\neq 0$ $w_{0}=f(z_{0})$ $f^{{-1}}(w)$

f^{-1}(w)=z_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n!)}}\left.\left({ \ frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\venstre({\frac {z-z_{0}}{f(z)-w_{0}}}\right) ^ {n}\right)\right|_{z=z_{0}}(w-_{w}0)^{n}.

Ansøgninger

Burman-Lagrange-serien

Burman-Lagrange-serien er defineret som udvidelsen af en holomorf funktion i potenser af en anden holomorf funktion , og er en generalisering af Taylor-serien . $f(z)$ $w(z)$

Lad og være holomorphic i et kvarter af et eller andet punkt , desuden, og være et simpelt nul af funktionen . Nu vælger vi et domæne , hvor og er holomorfe og er univalente i . Så er der en nedbrydning af formen: $f(z)$ $w(z)$ $a\in \mathbb {C}$ $w(a)=0$ $-en$ $w(z)$ $D\ni a$ $f$ $w$ $w$ $\overline {D}$

f(z)=\sum _{{n=0}}^{\infty }d_{n}w^{n}(z),

hvor koefficienterne er beregnet efter følgende udtryk: $d_{n}$

d_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{{\partial D}}{\frac {f(\zeta )w'(\zeta )}{w^{ {n+1}}(\zeta )}}\,d\zeta ={\frac {1}{n!)}}\lim _{{z\to a}}{\frac {d^{{n - 1}}}{dz^{{n-1}}}}\venstre\{f'(z){\frac {(za)^{n}}{w^{n}(z)))\ højre \}.

Serieinversionssætning

Et særligt tilfælde af brug af serier er det såkaldte Taylor-serie- inversionsproblem .

Overvej en nedbrydning af formen . Lad os prøve at bruge det resulterende udtryk til at beregne koefficienterne for serien : ${\displaystyle w=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{n))$ ${\displaystyle z=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}w^{n))$

b_{n}={\frac {1}{n!)}}\lim _{z\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}} } \left({\frac {z}{w}}\right)^{n}.

Generaliseringer

Under sætningens betingelser opfylder en superposition af formen en repræsentation i form af en række $F\cirkel f^{{-1}}$

F(f^{-1}(w))=z_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n!)}}\venstre.\ venstre ({\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left(F'(z)\left({\frac {z-z_{0}}{f(z) ) -w_{0}}}\right)^{n}\right)\right)\right|_{z=z_{0}}(w-w_{0})^{n}.

Litteratur

Shabat BV Introduktion til kompleks analyse. — M .: Nauka , 1969. — 577 s.