Cauchy-Kovalevskaya teorem

Cauchy-Kovalevskaya- sætningen er en sætning om eksistensen og unikheden af en lokal løsning på Cauchy-problemet for en partiel differentialligning . Kovalevskaya-sætningen er en af de vigtigste og hyppigst anvendte sætninger i teorien om partielle differentialligninger: Holmgrens sætning om det unikke ved løsningen af Cauchy-problemet, eksistenssætninger til løsning af Cauchy-problemet for hyperbolske ligninger, teorien om løselighed af lineære ligninger bruge Kovalevskaya-sætningen.

Ordlyd

Lad os overveje plads . Et punkt i rummet vil blive betegnet med , og et punkt tilhørende , med . Betegn den partielle differentieringsoperator $\mathbb {R} ^{n+1}$ $\mathbb {R} ^{n+1}$ $(x,t)=(x_{{1}},...,x_{{n}},t)$ $\mathbb {R} ^{n}$ $x=(x_{{1}},...,x_{{n}})$

L\equiv \left({\frac {d}{dt}}\right)^{m}+\sum _{|\nu |+j\leqslant m,j\leqslant m-1}a_{ \nu ,j}(x,t)\venstre({\frac {d}{dx}}\right)^{\nu}\left({\frac {d}{dt}}\right)^{j }.

Lad os antage, at koefficienterne for operatoren er defineret i nærheden af oprindelsen i rummet af variable og er analytiske funktioner . Lad funktionen også være analytisk i . Lad vektoren af indledende data være analytisk i et eller andet område af oprindelsen , dvs. rummet. Så er der et kvarter af oprindelsen og en unik analytisk funktion defineret i hvilken $L$ $U$ $(x,t)$ $f$ $U$ $\psi$ $x$ $W$ $u(x, t)$ $W$

Lu=f,(x,t){\mathcal {2}}W,\left({\frac {d}{dt}}\right)^{j}u(x,0)=u_{ j}(x),x{\mathcal {2}}W\cap {\mathcal {f}}t=0{\mathcal {g}}\qquad (j=0,1,2,...,m -1).\qquad(1)

Bevis

Lad os sætte

{\tilde {u}}(x,t)=u(x,t)-\sum _{j=0}^{m-1}{\frac {t^{j}}{j! }}u_{j}(x).

Så følger det af $(en)$

L[{\tilde {u}}]=f-\sum _{j=0}^{m-1}L\venstre[{\frac {t^{j}}{j!)}} u_ {j}(x)\højre].

Uden tab af generalitet kan vi derfor antage, at de indledende data for er lig med nul. Lad os omskrive i formen $u(x, t)$ $(en)$

\left({\frac {d}{dt}}\right)^{m}u(x,t)=\sum _{j=0}^{m-1}\alpha _{j} (x,t;{\frac {d}{dx}})\venstre({\frac {d}{dt}}\right)^{j}u(x,t)+f(x,t), \qquad(2)

hvor er et polynomium i grad , hvis koefficienter er analytiske i et område af oprindelsen. Det er let at se, at koefficienterne for Taylor -seriens ekspansion ${\alpha }_{{j))(x,t;{\xi })$ $\xi$ $mj$ $U$ $c_{{\nu,j}}$

u(x,t)=\sum _{j\geqslant m;\nu}c_{\nu,j}x^{\nu}t^{j}\qquad (3)

er entydigt bestemt af ligningen og begyndelsesbetingelserne. Dernæst beviser vi konvergensen af serien . $(2)$ $(3)$

Majorantrækker og polynomier bruges til at bevise seriens konvergens . En funktion kaldes en majorantrække for ved origo, hvis den er analytisk på dette tidspunkt, og koefficienterne for dens Taylor-udvidelse er større end eller lig med de absolutte værdier af de tilsvarende koefficienter for funktionens Taylor- udvidelse , dvs. , . $(3)$ $F(x,t)$ $f(x,t)$ $C_{{\mu ,j}}$ $c_{{\mu,j))$ $f(x,t)$ $C_{{\mu ,j}}\geqslant |c_{{\mu ,j}}|$

Historie

Sætningen blev præsenteret af S.V. Kovalevskaya til universitetet i Göttingen sammen med to andre arbejder som en doktorafhandling i 1874.

Se også

Litteratur

S. Mizohata Theory of partielle differentialligninger, Moskva, Mir, 1977, 504 sider.
O.A. Oleinik- sætning S.V. Kovalevskaya og den moderne teori om partielle differentialligninger // Soros Educational Journal , 1997, nr. 8, s. 117