Kolmogorovs to-serie-sætning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 25. august 2017; verifikation kræver 1 redigering .

Kolmogorovs to-serie-sætning i sandsynlighedsteori sætter en tilstrækkelig betingelse for konvergens med sandsynlighed en af en række uafhængige stokastiske variable . Kolmogorovs to-serie-sætning kan bruges til at bevise den stærke lov om store tal .

For at en række uafhængige stokastiske variable kan konvergere med sandsynlighed en , er det tilstrækkeligt, at to serier konvergerer samtidigt: og . Hvis derudover, så er denne betingelse også nødvendig. ${\displaystyle \sum \xi _{n))$ ${\displaystyle \sum M\xi _{n))$ ${\displaystyle \sum D\xi _{n))$ $\sum P(|\xi _{n}|\leqslant c)=1,n\geqslant 1$

Bevis

Hvis , Så konvergerer ifølge Kolmogorov-Khinchin-konvergenssætningen . Men ved antagelse konvergerer serien , så serien konvergerer også . $\sum D\xi _{n}<\infty$ $\sum (\xi _{n}-M\xi _{n})$ ${\displaystyle M\xi _{n))$ ${\displaystyle \sum \xi _{n))$

For at bevise nødvendigheden bruger vi følgende metode til "symmetriisering". Sammen med sekvensen skal du overveje en sekvens af tilfældige variabler, der er uafhængige af den , sådan som har samme fordeling som . $\xi _{1},\xi _{2}...$ $\xi _{1}^{'},\xi _{2}^{'}...$ $\xi _{n}^{'}$ $\xi _{n},n\geqslant 1$

Så, hvis serien konvergerer , så konvergerer serien , og dermed serien . Men også . Derfor ifølge Kolmogorov-Khinchin-konvergenssætningen . ${\displaystyle \sum \xi _{n))$ $\sum \xi _{n}^{'}$ $\sum (\xi _{n}-\xi _{n}^{'})$ $M(\xi _{n}-\xi _{n}^{'})=0$ $P(|\xi _{n}-\xi _{n}^{'}|\leqslant 2c)=1$ $\sum D(\xi _{n}-\xi _{n}^{'})<\infty$

Næste . Derfor konvergerer rækken ifølge Kolmogorov-Khinchin -konvergenssætningen med sandsynlighed en , og derfor konvergerer rækken også . $\sum D\xi _{n}={\frac {1}{2}}\sum D(\xi _{n}-\xi _{n}^{'})<\infty$ $\sum (\xi _{n}-M\xi _{n})$ ${\displaystyle \sum M\xi _{n))$

Så ud fra seriens konvergens (under antagelsen følger det, at både serier og konvergerer. ${\displaystyle \sum \xi _{n))$ $P(|\xi _{n}|\leqslant c)=1,n\geqslant 1)$ ${\displaystyle \sum M\xi _{n))$ ${\displaystyle \sum D\xi _{n))$

Litteratur

Shiryaev A. N. Sandsynlighed. - 3. udg., revideret. og yderligere .. - M . : MTSNMO , 2004. (kapitel 4 § 2 stk. 1)