Kirschbrowns fortsættelsessætning

Kirschbrowns udvidelsessætning (nogle gange kaldet Valentines sætning ) er en sætning om eksistensen af en udvidelse af en Lipschitz-funktion defineret på en delmængde af det euklidiske rum til hele rummet.

Ordlyd

Lad en vilkårlig delmængde af det euklidiske rum , så kan en vilkårlig kort mapping udvides til en kort mapping ; med andre ord er der en kort kortlægning sådan, at . $S$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} ^{m))$ ${\displaystyle {\bar {f)):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m))$ ${\displaystyle {\bar {f)):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m))$ ${\bar {f}}|_{S}=f$

Variationer og generaliseringer

Generaliserer naturligvis til
- Kortlægninger fra en delmængde af et Hilbert-rum til et Hilbert-rum.
- Kortlægninger fra en delmængde af Lobachevsky -rummet til Lobachevsky-rummet af samme krumning
Et lignende resultat for kortlægninger mellem sfærer er ikke sandt, men sætningen forbliver sand for
- Kortlægninger fra en delmængde af en kugle til en halvkugle med samme krumning.
- Kortlægninger fra en delmængde af en kugle til en kugle med samme krumning af ikke mindre dimension.
Et lignende resultat for Banach-mellemrum er forkert.

Metrisk geometri

En generalisering af Kirschbrowns teorem til metriske rum blev givet af Lang og Schröder [1] [2]
Enhver kort mapping defineret på en delmængde af et vilkårligt metrisk rum med værdier i et injektivrum tillader en kort forlængelse af hele rummet. Dette giver endnu en generalisering af teoremet til metriske rum. Injektive rum inkluderer de rigtige linje og metriske træer samt -mellemrum. $L^{\infty }$
For metriske rum med fordoblingsegenskaben gælder en svag version af Kirschbrowns sætning. Nemlig, hvis er et metrisk rum med fordoblingsegenskaben og og er et Banach mellemrum, så strækker enhver -Lipschitz mapping sig til -Lipschitz mapping , hvor konstanten kun afhænger af parameteren i fordoblingsegenskaben. [3] $x$ $A\delmængde X$ $V$ $L$ $A\to V$ $C\cdot L$ $X\to V$ $C$

Historie

Det blev bevist i afhandlingen af Moizhes Kirshbraun (forsvaret i 1930) [4] . Senere blev denne teorem irettesat af Frederic Valentine [5] .

Se også

Tietzes fortsættelsessætning

Noter

↑ Lang, U.; Schroeder, V. Kirszbrauns teorem og metriske rum med afgrænset krumning. Geom. Funktion. Anal. 7 (1997), nr. 3, 535-560.
↑ Alexander, Stephanie; Kapovitch, Vitali; Petrunin, Anton Alexandrov møder Kirszbraun. Proceedings of the Gökova Geometry-Topology Conference 2010, 88–109, Int. Press, Somerville, MA, 2011.
↑ 4.1.21 i Heinonen, Juha, et al. Sobolev-mellemrum på metriske målerum. Vol. 27. Cambridge University Press, 2015.
↑ M. D. Kirszbraun. Über die zusammenziehende und Lipschitzsche Transformationen. fond. Math., (22):77-108, 1934.
↑ FA Valentine, "Om udvidelsen af en vektorfunktion for at bevare en Lipschitz-tilstand," Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 49, s. 100-108, 1943.