Kirschbrowns fortsættelsessætning
Kirschbrowns udvidelsessætning (nogle gange kaldet Valentines sætning ) er en sætning om eksistensen af en udvidelse af en Lipschitz-funktion defineret på en delmængde af det euklidiske rum til hele rummet.
Ordlyd
Lad en vilkårlig delmængde af det euklidiske rum , så kan en vilkårlig kort mapping udvides til en kort mapping ; med andre ord er der en kort kortlægning sådan, at .
![{\displaystyle f:S\to \mathbb {R} ^{m))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e2c525fdccf7e8a432c35439cbe6b38e2203d32)
![{\displaystyle {\bar {f)):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10abe6d9690bf2e4947b59e908157628fc6accd7)
![{\displaystyle {\bar {f)):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10abe6d9690bf2e4947b59e908157628fc6accd7)
![{\displaystyle {\bar {f}}|_{S}=f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d02863fee39e90dbb8263f91a5d2cd6b4b28da28)
Variationer og generaliseringer
- Generaliserer naturligvis til
- Kortlægninger fra en delmængde af et Hilbert-rum til et Hilbert-rum.
- Kortlægninger fra en delmængde af Lobachevsky -rummet til Lobachevsky-rummet af samme krumning
- Et lignende resultat for kortlægninger mellem sfærer er ikke sandt, men sætningen forbliver sand for
- Kortlægninger fra en delmængde af en kugle til en halvkugle med samme krumning.
- Kortlægninger fra en delmængde af en kugle til en kugle med samme krumning af ikke mindre dimension.
- Et lignende resultat for Banach-mellemrum er forkert.
Metrisk geometri
- En generalisering af Kirschbrowns teorem til metriske rum blev givet af Lang og Schröder [1] [2]
- Enhver kort mapping defineret på en delmængde af et vilkårligt metrisk rum med værdier i et injektivrum tillader en kort forlængelse af hele rummet. Dette giver endnu en generalisering af teoremet til metriske rum. Injektive rum inkluderer de rigtige linje og metriske træer samt -mellemrum.
![L^{\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9ab400cc4dfd865180cd84c72dc894ca457671f)
- For metriske rum med fordoblingsegenskaben gælder en svag version af Kirschbrowns sætning. Nemlig, hvis er et metrisk rum med fordoblingsegenskaben og og er et Banach mellemrum, så strækker enhver -Lipschitz mapping sig til -Lipschitz mapping , hvor konstanten kun afhænger af parameteren i fordoblingsegenskaben. [3]
![x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![A\delmængde X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/826569be03f873b81cdc6f12637ef5520c369d21)
![V](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845)
![L](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8)
![{\displaystyle A\to V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e24518d28b9f06ff6dcc717fe45e6dd42a680630)
![{\displaystyle C\cdot L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47a176e851da3dc73825934f8584926390931c70)
![{\displaystyle X\to V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb095dc7a8950e06d29532c8f0fd31b07fd8e6e9)
![C](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029)
Historie
Det blev bevist i afhandlingen af Moizhes Kirshbraun (forsvaret i 1930) [4] . Senere blev denne teorem irettesat af Frederic Valentine [5] .
Se også
Noter
- ↑ Lang, U.; Schroeder, V. Kirszbrauns teorem og metriske rum med afgrænset krumning. Geom. Funktion. Anal. 7 (1997), nr. 3, 535-560.
- ↑ Alexander, Stephanie; Kapovitch, Vitali; Petrunin, Anton Alexandrov møder Kirszbraun. Proceedings of the Gökova Geometry-Topology Conference 2010, 88–109, Int. Press, Somerville, MA, 2011.
- ↑ 4.1.21 i Heinonen, Juha, et al. Sobolev-mellemrum på metriske målerum. Vol. 27. Cambridge University Press, 2015.
- ↑ M. D. Kirszbraun. Über die zusammenziehende und Lipschitzsche Transformationen. fond. Math., (22):77-108, 1934.
- ↑ FA Valentine, "Om udvidelsen af en vektorfunktion for at bevare en Lipschitz-tilstand," Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 49, s. 100-108, 1943.