Jordans teorem

Jordans teorem er en klassisk topologisætning, kendt for sin enkelhed i formuleringen og ekstrem kompleksitet af beviser.

Ordlyd

En simpel (det vil sige uden selvskæringer) flad lukket kurve deler planet i to forbundne komponenter og er deres fælles grænse. [en] $\gamma$ $\mathbb R^2$

Noter

Af de to forbundne komponenter er den ene (det indre ) afgrænset; kendetegnet ved, at graden i forhold til ethvert punkt i er lig med ; den anden (ydre ) er ubegrænset, og graden med hensyn til ethvert punkt i er lig med nul. Ved Schoenflies' sætning er førstnævnte altid homøomorf til en disk. [en] $B$ $\gamma$ $\gamma$ $B$ $\pm 1$ $S$ $\gamma$ $\gamma$ $S$

Historie

Sætningen blev formuleret og bevist af Camille Jordan i 1887 .

Det hævdes ofte, at Jordans bevis ikke var fuldstændigt udtømmende, idet det første fuldstændige bevis blev givet af Oswald Veblen i 1905 . [2] Thomas Hales skriver imidlertid , at Jordans bevis ikke indeholder fejl, og den eneste mulige påstand mod dette bevis er, at Jordan antager, at påstanden om sætningen er kendt i det tilfælde, hvor den lukkede kurve er en polygon. [3]

Om beviser

Der kendes adskillige simple beviser for Jordans sætning.

Et kort og elementært bevis for Jordans teorem blev foreslået af Aleksey Fedorovich Filippov i 1950, mens Filippov selv bemærker, at uafhængigt af ham, et meget lignende bevis blev foreslået af Aizik Isaakovich Volpert [4] .
Et meget kort bevis ved hjælp af den fundamentale gruppe er givet af Doyle. [5]

Variationer og generaliseringer

Jordans sætning er generaliseret i dimension:

Enhver -dimensionel undermanifold i , homøomorf til en kugle, deler rummet i to forbundne komponenter og er deres fælles grænse.

(n-1)

\mathbb {R} ^{n}

Dette blev bevist af Lebesgue , og i det generelle tilfælde af Brouwer , hvilket er grunden til, at den dimensionelle Jordan-sætning undertiden kaldes Jordan-Brauer-sætningen. [en]

n=3

n

Desuden opdeler enhver kompakt tilsluttet- dimensionel undermanifold rummet i to forbundne komponenter og er deres fælles grænse. Beviset opnås ved at anvende Alexanders dualitet . $(n-1)$ $\mathbb {R} ^{n}$

Schoenflies ' teorem siger, at der eksisterer en homeomorfisme af et fly i sig selv, der kortlægger en given Jordan-kurve til en cirkel.
- Især er den afgrænsede komponent i Jordans sætning homøomorf til enhedsskiven, og den ubundne komponent er homøomorf til ydersiden af enhedsskiven.
- Eksemplet med den vilde sfære viser, at et lignende udsagn ikke er sandt i højere dimensioner.

Se også

Jordan kurve
Vada -søerne er et patologisk eksempel, der viser, at Jordans teorem ikke er trivialitet.

Noter

↑ 1 2 3 I. M. Vinogradov. Jordan-sætning // Matematisk encyklopædi. — M.: Sovjetisk Encyklopædi . - 1977-1985. (Russisk)
↑ Se for eksempel R. Courant, G. Robbins. Hvad er matematik? - M.: MTSNMO, 2010, - S. 270-271.
↑ Hales, Thomas. Jordans bevis på Jordan Curve-sætningen // Studier i logik, grammatik og retorik. - 2007. - Bd. 10 , nej. 23 . - S. 45-60 .
↑ A.F. Filippov . Elementært bevis for Jordan-sætningen // Uspekhi Mat . - 1950. - V. 5 , nr. 5 (39) . - S. 173-176 . Arkiveret fra originalen den 24. december 2013.
↑ P.H. Doyle. Flyadskillelse. Proc. Cambridge Philos. soc. 64 (1968), s. 291.

Litteratur

Anosov DV Cirkelkortlægninger, vektorfelter og deres applikationer. - M. : MTSNMO forlag, 2003.
Filippov AF Elementært bevis for Jordans sætning. — UMN 5:5(39) (1950), 173-176.
Jordan C. Cours d'analyse, t. I, P., 1893.
Vallee Poussin. Et kursus i analyse af infinitesimals. - pr. fra fransk, bind 2, L.-M., 1933.
Alexandrov P. S. Kombinatorisk topologi. - M.-L., 1947.
Dieudonne J. Fundamentals of moderne analyse. - pr. fra engelsk, M .: 1964.
Boltjanskij V.G. , Efremovich V.A. Visuel topologi. — M .: Nauka, 1982. — 160 s.
Prasolov V.V. Jordans teorem. — Matematik. uddannelse, april-september 1999, 95-101.

Ordbøger og encyklopædier	Britannica (online)