Grothendiecks spaltningssætning

Grothendiecks opdelingssætning giver en klassifikation af holomorfe vektorbundter over den komplekse projektive linje . Hun siger nemlig, at hvert holomorfe vektorbundt over er en direkte sum af holomorfe 1-dimensionelle bundter $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$ .

Historie

Sætningen er opkaldt efter Alexander Grothendieck , som beviste den i 1957. [1] Det svarer til sætningen bevist tidligere af George Birkhoff i 1913 [2] men var allerede kendt i 1908 af Josip Plemel [3] og i 1905 til David Hilbert . [fire]

Formuleringer

Grothendiecks formulering

Hver holomorf vektorbundt over er holomorfisk isomorf til en direkte sum af linjebundter: ${\mathcal {E}}$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$

{\mathcal {E}}\cong {\mathcal {O}}(a_{1})\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}(a_{n}),

hvor angiver et bundt med Chern-klasse . Desuden er denne repræsentation unik op til en permutation af termer. ${\mathcal {O}}(a)$ $-en$

Birkhoffs formulering

En inverterbar matrix , hvor hver komponent er et Laurent-polynomium af , er repræsenteret som et produkt $M$ $z$

M=M^{+}M^{0}M^{-}

hvor matrix er et polynomium i , er en diagonal matrix, og matrix er et polynomium i . ${\displaystyle M^{+))$ $z$ ${\displaystyle M^{0))$ $M^{-}$ ${\tfrac {1}{z))$

Ansøgninger

Grothendiecks opdelingssætning bruges i beviset for Micalef og Moores sfæresætning for positiv kompleksiseret krumning i isotropiske retninger.

Variationer og generaliseringer

Det samme resultat gælder for algebraiske vektorbundter over for ethvert felt . [5] ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{1))$ $k$

Noter

↑ Grothendieck, Alexander (1957), Sur la classification des fibrés holomorphes sur la sphère de Riemann , American Journal of Mathematics bind 79: 121-138 , DOI 10.2307/2372388 .
↑ Birkhoff, George David (1909), Singular points of ordinary linear differential equations , Transactions of the American Mathematical Society bind 10 (4): 436–470, ISSN 0002-9947 , DOI 10.2307/1988594
↑ Plemelj, J. Riemannsche Funktionenscharen mit gegebener Monodromiegruppe. Monatsh. Matematik. Phys. 19 (1908), Nr. 1, 211-245.
↑ Hilbert D. Grundzüge einer allgemeinen theorie der linearen integralgleichungen. vierte mitteilung. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. 1906:157-228.
↑ Hazewinkel, Michiel & Martin, Clyde F. (1982), Et kort elementært bevis på Grothendiecks teorem om algebraiske vektorbundter over den projektive linje , Journal of Pure and Applied Algebra bind 25 (2): 207–211 , DOI 10.10216/0 -4049(82)90037-8

Litteratur

Okonek, C.; Schneider, M. & Spindler, H. (1980), Vektorbundter på komplekse projektive rum , Progress in Mathematics, Birkhäuser .