Tangent-vurderet form
Tangentværdierede former er en generalisering af differentialformer , hvor værdisættet af formen er tangentbundtet til manifolden .
Definition
En tangentværdieret form på en manifold er en sektion af tensorproduktet af tangenten og ydre potenser af cotangensbundterne til manifolden:
Operationer
- Intern differentiering
- Ekstern differentiering
Løgn afledt
Et særligt tilfælde af tangentielt værdifulde former er vektorfelter . Lie-afledningen af et tensorfelt i forhold til et vektorfelt er defineret på standardmåden:
hvor er faseflowet svarende til vektorfeltet . Denne operation er relateret til intern multiplikation af en differentialform med et vektorfelt og ekstern differentiering med homotopiformlen :
det er
![{\displaystyle L_{X}=[\imath _{X},d]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/407fedff8778171516c1002ccaa2e854d3349c0d)
hvor er kommutatoren i den graderede algebra af afledninger af tangentielt værdisatte former. For en vilkårlig tangentiel værdi defineres Lie-afledten analogt:
Ejendomme![[\cdot ,\cdot]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28dd4c22d60192519c1c12cf645b040f368db9e9)
![{\displaystyle L_{K}=[\imath _{K},d]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3f273204bfa118e369086c85b3d7b23da5313f9)
![{\displaystyle [L_{K},d]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce918fcbb7cf56bf8595dd8f6bc5cbbe7b4167b2)
Frölicher-Nijenhuis beslag
Frölicher-Nijenhuis parentes af to tangentielt værdisatte former og er defineret som en sådan unik tangentielt værdisat form, for hvilken
![{\displaystyle [K,F]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3bb154345346746d75727a1e6bcc0a81a138856)
![{\displaystyle [L_{K},L_{F}]=L([K,F])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d873bbb74d043572252b5bb59ab2f81c298e8e9)
Denne operation er klassificeret som antikommutativ og opfylder den graderede Jacobi-identitet . Hvis vi opfatter en næsten kompleks struktur som en tangent-værdi 1-form, udtrykkes dens Nijenhuis-tensor (en tensor, der forhindrer søgningen efter komplekse lokale kort) gennem Frölicher-Nijenhuis-parentesen som . [1] Betingelsen for "integrerbarhed" af en bestemt struktur som forsvinden af nogle af dens parenteser med sig selv er almindelig: For eksempel kan associativitetsbetingelsen for en algebra defineres som forsvinden af Gerstenhaber parentesen på rummet af kodifferentieringer af en fri koalgebra genereret af det underliggende vektorrum i algebraen , placeret i graduering 1 (bilineære multiplikationer er det samme som gradueringskodifferentiering 1) [2] .
![{\displaystyle [I,I]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a0ed0802a46f94834a2074b4131f1e4744253ba)
Nijenhuis-Richardson beslag
Nijenhuis-Richardson-parentesen (algebraiske parenteser) af to tangentielt værdisatte former og er defineret som den eneste tangentielt værdisatte form, for hvilken
![{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]^{\wedge }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03eab976fbfedc37e39a9b3bd94ef078b3a6998c)
![{\displaystyle [K,F]^{\wedge }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6aad740f459fa6f9fb8326505bc450443e4f82f)
![{\displaystyle [\imath _{K},\imath _{F}]=\imath ([K,F]^{\wedge })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a4929659805d0900b1ae2a1923539797dc948f4)
Denne operation er klassificeret som antikommutativ og opfylder den graderede Jacobi-identitet . Eksplicit formular for parenteser af to former , :
![{\displaystyle [K,F]^{\wedge }=\imath _{k}F-(-1)^{kf}\imath _{F}K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c249d4fa65aa6af46525ad015c08b7b135ed9a9a)
Relaterede definitioner
En form kaldes lodning , hvis den ligger i .
Noter
- ↑ Dusin definitioner af Nijenhuis-tensoren i en næsten kompleks struktur . . Dato for adgang: 31. januar 2016. Arkiveret fra originalen 26. marts 2015.
- ↑ Homological methods in Non-commutative Geometry, Foredrag 8. Arkiveret 24. marts 2017 på Wayback Machine , Lemma 8.2
Litteratur
- GA Sardanashvili Moderne metoder inden for feltteori. Vol. 1: Geometri og klassiske felter, - M. : URSS, 1996. - 224 s.
- Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák Natural operations in differential geometry , - Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1993. - ISBN 3-540-56235-4 , ISBN 0-387-56235-4 .