Tangentværdierede former er en generalisering af differentialformer , hvor værdisættet af formen er tangentbundtet til manifolden .
En tangentværdieret form på en manifold er en sektion af tensorproduktet af tangenten og ydre potenser af cotangensbundterne til manifolden:
Et særligt tilfælde af tangentielt værdifulde former er vektorfelter . Lie-afledningen af et tensorfelt i forhold til et vektorfelt er defineret på standardmåden:
hvor er faseflowet svarende til vektorfeltet . Denne operation er relateret til intern multiplikation af en differentialform med et vektorfelt og ekstern differentiering med homotopiformlen :
det er
hvor er kommutatoren i den graderede algebra af afledninger af tangentielt værdisatte former. For en vilkårlig tangentiel værdi defineres Lie-afledten analogt:
EjendommeFrölicher-Nijenhuis parentes af to tangentielt værdisatte former og er defineret som en sådan unik tangentielt værdisat form, for hvilken
Denne operation er klassificeret som antikommutativ og opfylder den graderede Jacobi-identitet . Hvis vi opfatter en næsten kompleks struktur som en tangent-værdi 1-form, udtrykkes dens Nijenhuis-tensor (en tensor, der forhindrer søgningen efter komplekse lokale kort) gennem Frölicher-Nijenhuis-parentesen som . [1] Betingelsen for "integrerbarhed" af en bestemt struktur som forsvinden af nogle af dens parenteser med sig selv er almindelig: For eksempel kan associativitetsbetingelsen for en algebra defineres som forsvinden af Gerstenhaber parentesen på rummet af kodifferentieringer af en fri koalgebra genereret af det underliggende vektorrum i algebraen , placeret i graduering 1 (bilineære multiplikationer er det samme som gradueringskodifferentiering 1) [2] .
Nijenhuis-Richardson-parentesen (algebraiske parenteser) af to tangentielt værdisatte former og er defineret som den eneste tangentielt værdisatte form, for hvilken
Denne operation er klassificeret som antikommutativ og opfylder den graderede Jacobi-identitet . Eksplicit formular for parenteser af to former , :
En form kaldes lodning , hvis den ligger i .