Ordning med forskelle mod strømmen

Et modstrømsforskelskema i beregningsfysik er en klasse af diskretiseringsmetoder til løsning ( ved eksplicitte skemaer ) partielle differentialligninger af hyperbolsk type ( hyperbolske ligninger ).

For eksempel har den endimensionelle bølgeligning formen

$\qquad {\frac {\partial u}{\partial t))+a{\frac {\partial u}{\partial x))=0$

Den beskriver udbredelsen af en bølge i en retning med en hastighed . En sådan ligning er også en matematisk model for endimensionel lineær advektion . I betragtning af et almindeligt gitterpunkt er der i det endimensionelle tilfælde kun to mulige retninger, venstre og højre. Hvis positiv, så kaldes venstre side opstrømsretningen, og højre side kaldes nedstrømsretning. (Hvis negativ, så omvendt). Hvis den, når man bruger endelige forskelle for den rumlige afledede, indeholder flere punkter på opstrømssiden, så kaldes skemaet et opstrøms differensskema [1] . $x$ $-en$ $jeg$ $-en$ $-en$ $\partial u/\partial x$

Første ordre

Det enkleste eksempel, første ordens eksempel: [2]

\quad (1)\qquad {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n)){\Delta t))+a{\frac {u_{i} ^{n}-u_{i-1}^{n}}{\Delta x}}=0\quad {\text{for}}\quad a>0

\quad (2)\qquad {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n)){\Delta t))+a{\frac {u_{i+ 1 }^{n}-u_{i}^{n}}{\Delta x}}=0\quad {\text{for}}\quad a<0

Kompakt form

Definere

\qquad \qquad a^{+}={\text{max))(a,0)\,,\qquad a^{-}={\text{min))(a,0)

\qquad \qquad u_{x}^{-}={\frac {u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}}{\Delta x}}\,,\ qquad u_{x}^{+}={\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n)){\Delta x))

to betingede ligninger (1) og (2) kan skrives i én:

\quad (3)\qquad u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-\Delta t\left[a^{+}u_{x}^{-}+ a^{-}u_{x}^{+}\right]

En sådan ligning repræsenterer skemaer med forskelle opstrøms på en generel måde. Stabiliteten af ordningen med forskelle opstrøms bestemmes af Courant-Friedrichs-Levy-kriteriet . [3]

Kilder

↑ Fletcher K. Beregningsmetoder i fluiddynamik . - Springer , 1992. - ISBN 9783540530589 . (Russisk)
↑ Patankar, SV Numerisk varmeoverførsel og væskestrøm (uspecificeret) . — Taylor & Francis , 1980. — ISBN 978-0-89116-522-4 .
↑ Hirsch, C. Numerisk beregning af interne og eksterne strømme . - John Wiley & Sons , 1990. - ISBN 978-0-471-92452-4 .