Bernoulli plan

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 16. juli 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Eksperimenter udføres , i hver af hvilke en bestemt begivenhed ("succes") kan forekomme med en sandsynlighed (eller ikke ske - "fiasko" - med en sandsynlighed ). Opgaven er at finde sandsynligheden for at opnå præcis succeser i disse eksperimenter. $n$ $s$ $q=1-p$ $m$ $n$

Løsning:

P_{n}(m)=C_{n}^{m}p^{m}(1-p)^{{nm}}

( Bernoulli formel ).

Antallet af succeser er en tilfældig værdi, der har en binomialfordeling .

Definition

For at anvende Bernoulli-ordningen skal følgende betingelser være opfyldt:

Hvert forsøg har præcis to udfald, konventionelt kaldet succes og fiasko.
Uafhængighed af test: Resultatet af det næste eksperiment bør ikke afhænge af resultaterne af tidligere eksperimenter.
Sandsynligheden for succes bør være konstant (fast) for alle forsøg.

Overvej et stokastisk eksperiment med et to-element rum af elementære begivenheder . Lad os kalde en "succes", vi vil udpege "1", en anden - "fiasko", vi vil udpege "0". Lad sandsynligheden for succes være , så er sandsynligheden for fiasko . $0<p<1$ $1-p=q$

Lad os overveje et nyt stokastisk eksperiment, som består i -fold gentagelse af dette enkleste stokastiske eksperiment. $n$

Det er klart, at rummet af elementære begivenheder , som svarer til dette nye stokastiske eksperiment, vil være (1), . Lad os tage det booleske rum af elementære begivenheder (2) som begivenhedernes -algebra . Hver elementær begivenhed tildeles et nummer . Hvis der i en elementær begivenhed observeres succes én gang, og fiasko én gang , så . Lad da . Det er også indlysende, at sandsynligheden er normaliseret: . $\Omega$ $\left\{\Omega =(a_{1},...,a_{n})|a_{i}=\overline {0,1},i=\overline {1,n}\right\rbrace$ $N(\Omega )=2^{n}$ $\sigma$ $\mathcal{A}$ $P(\Omega)$ $\omega \i \Omega$ $p(\omega )=p^{{\sum _{{i=1}}^{n}a_{i}}}q^{{n-\sum _{{i=1}}^{n} a_{i}}}$ $\omega$ $k$ $(nk)$ $p(\omega )=p^{k}q^{{nk}}$ $A_{k}=\{\omega \in \Omega |\sum _{{i=1}}^{n}a_{i}=k\},k=\overline {0,n}$ $P(A_{k})=\sum _{{\omega \in A_{k))}P(\omega )=C_{n}^{k}p^{k}q^{{nk))$ $\sum _{{\omega \in \Omega }}P(\omega )=\sum _{{k=0}}^{n}\sum _{{\omega \i A_{k}}}P( \omega )=\sum _{{k=0}}^{n}C_{n}^{k}p^{k}q^{{nk}}=(p+q)^{n}=1 ^{n}=1$

Ved at tildele en numerisk værdi (3) til hver hændelse finder vi sandsynligheden . Det konstruerede rum , hvor er rummet af elementære begivenheder defineret af lighed (1), er -algebraen defineret af lighed (2), P er sandsynligheden defineret af lighed (3), kaldes Bernoulli -testskemaet . $A\in {\mathcal {A}}$ $P(A)=\sum _{{\omega \in A}}P(\omega )$ $P:{\mathcal {A}}\to {\mathbb {R}}$ $(\Omega ,{\mathcal {A}),P)$ $\Omega$ $\mathcal{A}$ $\sigma$ $n$

Sættet af tal kaldes binomialfordelingen. $P_{n}(k)=C_{n}^{k}p^{k}q^{{nk}},k=\overline {0,n},n\in {\mathbb {N}}$

Generalisering (polynomisk skema)

Den sædvanlige Bernoulli-formel gælder for tilfældet, hvor en af to begivenheder er mulig i hver retssag. Bernoullis formel kan generaliseres til det tilfælde, hvor én og kun én af begivenhederne forekommer med sandsynlighed , hvor . Sandsynligheden for forekomsten af den første begivenhed og - den anden og den k-te gang findes ved formlen: $k>2$ $p_{i}(i=1,2,...,k)$ $p_{1}+...+p_{k}=1$ $m_{1}$ $m_{2}$ $m_{k}$

P_{n}(m_{1},m_{2},...,m_{k})={\frac {n!}{m_{1}!m_{2}!...m_{k} !}}{p_{1}}^{{m_{1}}}{p_{2}}^{{m_{2}}}...{p_{k}}^{{m_{k}} }

hvor $n=m_{1}+m_{2}+...+m_{k}.$

Sætninger

Under særlige forhold (for tilstrækkeligt store eller tilstrækkeligt små parametre) anvendes tilnærmede formler fra grænsesætninger til Bernoulli-skemaet : Poissons sætning , den lokale Moivre-Laplace-sætning, Moivre-Laplace - integralsætningen .

Links

Testsekvens (Bernoulli-skema)

Ordbøger og encyklopædier	Stor russer
I bibliografiske kataloger	J9U : 987007283266105171 LCCN : sh85013374