Eksistens og glathed af løsninger af Navier-Stokes-ligningerne

Eksistensen og glatheden af løsninger til Navier-Stokes-ligningerne er et af de syv matematiske årtusindproblemer formuleret i 2000 af Clay Mathematical Institute .

Navier-Stokes-ligningerne beskriver bevægelsen af en tyktflydende newtonsk væske og er grundlaget for hydrodynamik . Numeriske løsninger af Navier-Stokes-ligningerne bruges i mange praktiske anvendelser og videnskabelige artikler. Imidlertid er analytiske løsninger af disse ligninger kun fundet i nogle specielle tilfælde, så der er ingen fuldstændig forståelse af egenskaberne ved Navier-Stokes ligningerne. Især løsninger på Navier-Stokes-ligningerne involverer ofte turbulens , som fortsat er et af de vigtigste uløste problemer i fysik , på trods af dens store betydning for videnskab og teknologi.

Navier-Stokes-ligningerne

For en tredimensionel vektor af væskehastighed og tryk er Navier-Stokes-ligningerne skrevet som følger: ${\vec v}({\vec x},\;t)$ $p({\vec x},\;t)$

{\frac {\partial {\vec {v))}{\partial t))+({\vec {v))\cdot \nabla ){\vec {v))=-{\frac { 1}{\rho }}\nabla p+\nu \Delta {\vec {v}}+{\vec {f}}({\vec {x}},\;t)

hvor er den kinematiske viskositet , er densiteten , er den ydre kraft, er nabla-operatoren og er Laplace-operatoren (Laplacian), som også betegnes som eller . Dette er en vektorligning, som i det tredimensionelle tilfælde kan repræsenteres som tre skalarligninger. Hvis vi betegner komponenterne i vektorerne for hastighed og ydre kraft som: $\nu>0$ $\rho$ ${\vec f}({\vec x},\;t)$ $\nabla$ $\Delta$ $\nabla \cdot \nabla$ $\nabla ^{2}$

{\vec {v))({\vec {x)),\;t)=(v_{1}({\vec {x)),\;t),\;v_{2}( {\vec {x)),\;t),\;v_{3}({\vec {x)),\;t)),\qquad {\vec {f))({\vec {x} },\;t)=(f_{1}({\vec {x)),\;t),\;f_{2}({\vec {x)),\;t),\;f_{ 3}({\vec {x)),\;t))

så for hver værdi opnås den tilsvarende skalarligning: $i=1,\;2,\;3$

{\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+\sum _{{j=1}}^{3}v_{j}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j))}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\nu \sum _{{j=1}}^ {3}{\frac {\partial ^{2}v_{i}}{\partial x_{j}^{2}}}+f_{i}({\vec x},\;t).

De ukendte størrelser er hastighed og tryk . Da der i det tredimensionelle tilfælde er tre ligninger og fire ukendte (tre hastighedskomponenter og tryk), er der behov for en ligning mere. En yderligere ligning er loven om bevarelse af masse - kontinuitetsligningen, som i tilfælde af et inkompressibelt medium omdannes til tilstanden af inkompressibilitet af væsken: ${\vec v}({\vec x},\;t)$ $p({\vec x},\;t)$

\nabla \cdot {\vec v}=0.

De indledende betingelser for Navier-Stokes-ligningerne er givet i formen:

{\vec v}({\vec x},0)={\vec {v^{0}}}({\vec x})

hvor er en given glat vektorfunktion, der opfylder kontinuitetsligningen . ${\vec {v^{0}}}({\vec x})$ $\nabla \cdot {\vec {v^{0))}=0$

Muligheder for indstilling af problemet

Clay Institute formulerede to hovedversioner af problemet med eksistensen og smidigheden af løsninger til Navier-Stokes-ligningerne. I den første version betragtes ligningerne i hele det tredimensionelle rum med nogle begrænsninger for væksthastigheden af løsningen i det uendelige. I den anden version betragtes ligningerne på en tredimensionel torus med periodiske randbetingelser. For at modtage præmien er det nok at bevise eller modbevise eksistensen og glatheden af løsningen i en af de to muligheder. $\mathbb {R} ^{3}$ ${\mathbb {T}}^{3}={\mathbb {R}}^{3}/{\mathbb {Z}}^{3}$

I 3D-rum

Lad starthastigheden være en vilkårlig jævn funktion, der opfylder kontinuitetsligningen, og sådan, at der for ethvert multiindeks og et hvilket som helst eksisterer en konstant (kun afhængig af og ) sådan, at ${\vec {v^{0}}}(x)$ $\alfa$ $K>0$ $C_{{\alpha ,K}}>0$ $\alfa$ $K$

\vert \partial ^{\alpha }{\vec {v_{0}}}(x)\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert {\vec {x}}\vert )^{ K}}}\qquad

for alle

\qquad x\in {\mathbb {R}}^{3}.

Lad den ydre kraft også være en jævn funktion, der opfylder en lignende ulighed (her inkluderer multiindekset også tidsafledte): ${\vec {f}}({\vec {x}},t)$

\vert \partial ^{\alpha }{\vec {f}}({\vec {x}})\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert {\vec {x}}\vert +t)^{K}}}\qquad

for alle

\qquad ({\vec {x)),t)\in {\mathbb {R))^{3}\ gange [0,\infty ).

Løsningerne skal være glatte funktioner, der ikke øges i det uendelige som . Følgende betingelser er påkrævet: $\vert {\vec {x}}\vert \to \infty$

${\vec {v}}({\vec {x}},t)\in \left[C^{\infty }({\mathbb {R}}^{3}\ gange [0,\infty )) \right]^{3}\,,\qquad p({\vec {x)),t)\in C^{\infty }({\mathbb {R))^{3}\ gange [0,\ infty))$
Der er en konstant sådan, at for alle . $E\in (0,\infty )$ $\int _{{{\mathbb {R}}^{3}}}\vert {\vec {v}}({\vec {x}}),t)\vert ^{2}dx<E$ $t\geq 0$

Den første betingelse betyder, at funktionerne er globalt definerede og er glatte; den anden er, at den kinetiske energi er globalt begrænset.

Det er nødvendigt at bevise en af de to udsagn:

eksistensen og glatheden af løsninger af Navier-Stokes-ligningerne i : for og enhver startbetingelse, der opfylder betingelserne beskrevet ovenfor, eksisterer der en global glat løsning af Navier-Stokes-ligningerne, dvs. hastighedsvektoren og trykfeltet, der opfylder betingelserne 1 og 2; $\mathbb {R} ^{3}$ ${\vec {f}}({\vec {x}}),t)\equiv 0$ ${\vec {v_{0}}}({\vec x})$ ${\vec {v}}({\vec x},t)$ $p({\vec x},t)$
ikke-eksistens eller ikke-jævnhed af løsninger af Navier-Stokes-ligningerne i : der er begyndelsesbetingelser og en ekstern kraft , således at der ikke er nogen løsninger og opfylder betingelser 1 og 2. $\mathbb {R} ^{3}$ ${\vec {v_{0}}}({\vec x})$ ${\vec {f}}({\vec x},t)$ ${\vec {v}}({\vec x},t)$ $p({\vec x},t)$

Løsningsforsøg

Den 10. januar 2014 offentliggjorde den kasakhiske matematiker Mukhtarbay Otelbaev en artikel, hvori han hævdede, at han havde givet en komplet løsning på problemet [1] , at kontrollere resultatet er kompliceret af det faktum, at værket var skrevet på russisk [2] [ 3] . I matematiske fællesskaber diskuteres modeksempler til hovedudsagn [4] . I 2014 blev der konstateret en alvorlig fejl i beviset, hvilket forfatteren indrømmede [5] .

Noter

↑ Mukhtarbai Otelbaev . Eksistensen af en stærk løsning af Navier-Stokes-ligningen // Matematisk tidsskrift. - 2013. - T. 13 , nr. 4 (50) . - S. 5-104 . — ISSN 1682-0525 . Arkiveret fra originalen den 17. august 2014. (Russisk) : Løsningen af det sjette årtusindproblem er givet: eksistensen og unikheden af en stærk løsning af det tredimensionelle Navier-Stokes-problem med periodiske randbetingelser i rumvariable er bevist
↑ Liz Klimas. Matematikproblem til en værdi af $1 mio. kan blive løst, men der er stadig et problem... (engelsk) (link utilgængeligt) . The Blaze (22. januar 2014). — «Det aktuelle problem med Otelbayevs papir er, at det er skrevet på russisk.». Dato for adgang: 23. januar 2014. Arkiveret fra originalen 23. januar 2014.
↑ Jacob Aron, Katia Moskvitch. Kasakhisk matematiker kan have løst 1 million dollars puslespil . New Scientist (22. januar 2014). Dato for adgang: 24. januar 2014. Arkiveret fra originalen 2. februar 2014.
↑ Ligning - til venstre! (6. februar 2014). Dato for adgang: 12. februar 2014. Arkiveret fra originalen 23. februar 2014. (Russisk)
↑ Djævelsk millionbevis unddrager sig matematikere . Hentet 12. maj 2016. Arkiveret fra originalen 25. maj 2016. (ubestemt)

Litteratur

PG Lemarie-Rieusset. Navier-Stokes-problemet i det 21. århundrede . - CRC Press, 2016. - S. 740. - ISBN 1466566213 .
Giovanni Galdi. En introduktion til den matematiske teori om Navier-Stokes-ligningerne: Steady-State- problemer . - Springer, 2011. - S. 1032. - ISBN 0387096191 .