Kombination

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 3. december 2021; checks kræver 2 redigeringer .

I kombinatorik er en kombination af by et sæt af elementer valgt fra et -elementsæt , hvor rækkefølgen af elementerne ikke tages i betragtning. $n$ $k$ $k$ $n$

Følgelig betragtes kombinationer, der kun adskiller sig i rækkefølgen af elementerne (men ikke i sammensætning), som de samme - det er sådan kombinationer adskiller sig fra placeringer . Så for eksempel, 3-elements kombinationer 2 og 3 ( (ikke-strenge) delmængder , for hvilke ) fra et 6-elements sæt 1 ( ) er de samme (mens arrangementerne ville være forskellige) og består af de samme elementer 1. $k=3$ $n=6$

Generelt er antallet af alle mulige -element-delmængder af et -elementsæt i skæringspunktet mellem -th diagonal og -th række i Pascals trekant . [en] $k$ $n$ $k$ $n$

Antal kombinationer

Antal kombinationer af lige $n$ $k$ binomial koefficient

{n \choose k}=C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!\left(nk\right)!}}).

For en fast genererende funktion af rækkefølgen af kombinationstal , , , … er $n$ ${\tbinom {n}{0))$ ${\tbinom {n}{1))$ ${\tbinom {n}{2))$

\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}=(1+x)^{n}.

Den todimensionelle genererende funktion af kombinationstal er

\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{n}=\sum _{ n=0}^{\infty }(1+x)^{n}y^{n}={\frac {1}{1-y-xy}}.

Kombinationer med gentagelser

En kombination med gentagelser fra til er sådan et -elementsæt fra -elementsæt, hvor hvert element kan deltage flere gange, men hvor der ikke tages højde for rækkefølgen ( multiset ). Især er antallet af monotone ikke-aftagende funktioner fra sæt til sæt lig med antallet af kombinationer med gentagelser fra til . $n$ $k$ $k$ $n$ ${\displaystyle \{1,2,\dots ,k\))$ $\{1,2,\dots,n\}$ $n$ $k$

Antallet af kombinationer med gentagelser af med en lige binomial koefficient $n$ $k$

{\overline {C_{n}^{k}}}=C_{(n)}^{k}=\venstre(\!\!{\binom {n}{k}}\!\! \right)={\binom {n+k-1}{n-1}}={\binom {n+k-1}{k}}=(-1)^{k}{\binom {-n }{k}}={\frac {(n+k-1)!}{k!\cdot (n-1)!}}.

Bevis

Lad der være typer af objekter, og objekter af samme type kan ikke skelnes. Lad der være et ubegrænset (eller tilstrækkeligt stort, i det mindste ikke mindre end ) antal objekter af hver type. Fra dette sortiment vil vi udvælge objekter; markeringen kan indeholde objekter af samme type, rækkefølgen af udvælgelsen er ligegyldig. Angiv med antallet af valgte objekter af den -th type, , . Så . Men antallet af løsninger til denne ligning kan let beregnes ved hjælp af "kugler og skillevægge": hver løsning svarer til et arrangement af kugler og skillevægge i en række, så der er nøjagtigt kugler mellem -th og -th skillevæg. Men sådanne arrangementer er præcis, hvad der krævedes for at blive bevist. ■ $n$ $k$ $k$ $x_{j}$ $j$ $x_{j}\geq 0$ $j=1,2,\prikker ,n$ $x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}=k$ $k$ $n-1$ $(j-1)$ $j$ $x_{j}$ ${\tbinom {n+k-1}{k))$