Skalært potentiale

Et vektorfelts skalarpotentiale (oftest blot potentialet for et vektorfelt) er en skalarfunktion, således at på alle punkter i feltdefinitionsområdet $\mathbf {A}$ $\phi$

{\mathbf {A}}=\operatørnavn {grad}\,\phi ,

hvor angiver gradienten . I fysik kaldes et potentiale normalt for en størrelse, der er modsat fortegn (kraftens potentiale, potentialet for det elektriske felt). $\operatørnavn {grad}\phi$ $\phi$

Potentielle felter

Et felt kaldes potentiale, hvis det har et skalært potentiale. For et potentielt felt er det krumlinede integral mellem to punkter:

\phi ({\mathbf r})=\int \limits _{C}{\mathbf {A}}({\mathbf {r}})\cdot \,d{\mathbf {r}}=\int \ grænser _{a}^{b}{\mathbf {A}}({\mathbf {r}}(t))\cdot {\mathbf {{\dot r}}}(t)\,dt

er ikke afhængig af integrationsstien, der forbinder disse punkter. Dette svarer til det faktum, at integralet over enhver lukket kontur er lig med nul: $C=\venstre\{{\mathbf {r}}(t)|t\in [a,b]\right\}$ $C$

\oint \limits _{C}{\mathbf {A}}({\mathbf {r}})\cdot \,{\mathbf {dr}}=0

I fysiske termer betyder dette, at det mekaniske arbejde med at bevæge et testlegeme i et kraftpotentialefelt ikke afhænger af bevægelsesbanen , men kun af placeringen af de indledende og sidste punkter af banen.

Et kontinuerligt vektorfelt i et enkelt forbundet område af tredimensionelt rum er potentielt, hvis og kun hvis det er irroterende :

{\mathbf {A}}=\operatørnavn {grad}\,\phi \Leftrightarrow \operatørnavn {rot}\,{\mathbf {A}}=0

En generalisering af denne teorem til tilfældet med et vilkårligt finit-dimensionelt rum er Poincarés lemma . For sådanne rum er der en isomorfi mellem vektorfelter og 1-former , hvor spørgsmålet om eksistensen af et potentiale reduceres til spørgsmålet om at invertere den ydre afledning . Poincarés lemma siger, at enhver lukket form i et simpelt forbundet domæne af et finit-dimensionelt rum er nøjagtig . $\mathbf {A}$ $\omega _{{{\mathbf {A}}}}$

Bemærk, at i det generelle tilfælde af et ikke-simpelt forbundet rum, er lukkebetingelsen ikke tilstrækkelig. Det er nemt at kontrollere, at feltet er på flyet

{\mathbf {A}}=\venstre({\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {x}{x^{2}+y^{2 }}}\ret)

er irroterende i et hvilket som helst enkelt forbundet område , der ikke indeholder punktet $(0,0)$

\int \limits _{C}{\mathbf {A}}({\mathbf {r}})\cdot \,{\mathbf {dr}}=2\pi

for enhver kontur , når du går rundt om oprindelsen mod uret. $C$

Newtonsk potentiale

Fra ethvert vektorfelt i er det muligt at udtrække dens potentielle komponent. Potentialet svarende til det kan skrives eksplicit uden at udvide selve feltet. Det er bestemt af et integral kaldet det newtonske potentiale : $\mathbb {R} ^{3}$

\phi ({\mathbf {r}}_{0})={\frac {1}{4\pi }}\int \limits _{({\mathbb {R}}^{3}}}{\ frac {\operatørnavn {div}\,{\mathbf {A}}}{\left|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{0}\right|}}dV

I dette tilfælde skal feltets divergens falde ved uendeligt hurtigere end . I tilfælde af et irrotationsfelt giver dette integral feltets skalarpotentiale. ${\frac {1}{r^{2}}}$

Divergens kan identificeres med ladningstæthed . Især for feltet $\operatørnavn {div}\,{\mathbf {A}}$ $\rho ({\mathbf {r}})$

{\mathbf {A}}=-{\frac {{\mathbf {r}}}{r^{3}}}

vi opnår den sædvanlige formel for det Newtonske gravitationspotentiale for en punktmasse placeret ved origo:

\phi ({\mathbf {r}}_{0})=\int \limits _{({\mathbb {R}}^{3}}}{\frac {\delta ({\mathbf {r}} )}{\left|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{0}\right|}}dV={\frac {1}{r}}

hvor er den tredimensionelle Dirac delta funktion . $\delta ({\mathbf {r}})$

Skalært potentiale

Potentielle felter

Newtonsk potentiale

Se også