Tværsnitskrumning

Sektionskrumning er en måde at beskrive krumningen af Riemannske manifolder .

Definition

Sektionskrumning er en funktion af , som afhænger af snitretningen i et punkt (dvs. et todimensionalt plan i tangentrum ved ). Det er lig med den Gaussiske krumning af overfladen dannet af den eksponentielle kortlægning, målt ved punktet . $K(\sigma )$ $\sigma$ $s$ $s$ $s$

Egenskaber

Hvis er to lineært uafhængige vektorer i , så $v,\;u$ $\sigma$ $K(\sigma )=K(u,\;v)/|u\kile v|^{2},$ hvor $K(u,\;v)=\langle R(u,\;v)v,\;u\rangle ,$

a betegner krumningstransformationen .

R(u,\;v)

- Denne formel kan omskrives som følger $K(\sigma )={\langle R(u,v)v,u\rangle \over \langle u,u\rangle \langle v,v\rangle -\langle u,v\rangle ^{2 }}.$

Følgende formel viser, at sektionskrumningen beskriver krumningstensoren fuldstændigt: $6\cdot \langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =$ $[K(u+z,\;v+w)-K(u+z,\;v)-K(u+z,\;w)-K(u,\;v+w)- K(z,\;v+w)+K(u,\;w)+K(v,\;z)]\,-$ $[K(u+w,\;v+z)-K(u+w,\;v)-K(u+w,\;z)-K(u,\;v+z)- K(w,\;v+z)+K(v,\;w)+K(u,\;z)].$
- i en enklere form ved hjælp af partielle derivater : $\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle ={\frac {1}{6}}\cdot \left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}\venstre(K(u+sz,\;v+tw)-K(u+sw,\;v+tz)\right)\right|_{(s,\;t)= (0,\;0)}.$

Toponogovs sammenligningssætning giver en betingelse for vinklerne af en trekant i en Riemann-manifold, der svarer til afgrænsningen af dens tværsnitskrumning af en konstant.