Frit arbejde

Et frit produkt af grupper er en gruppe genereret af elementer fra disse to grupper uden yderligere relationer .

Et gratis værk og er normalt betegnet med . $G_{1}$ $G_{2}$ $G_{1}*G_{2}$

Definitioner

Hvis grupper er givet i form af generatorer og relationer , så $G_{1}=\langle S_{1}|R_{1}\rangle$ $G_{2}=\langle S_{2}|R_{2}\rangle$ $G_{1}*G_{2}=\langle S_{1}\cup S_{2}|R_{1}\cup R_{2}\rangle$
- Denne definition indrømmer også en naturlig generalisering til tilfældet med et frit produkt af et vilkårligt antal grupper.

Et gratis produkt kan også defineres som et fibret biprodukt for en triviel gruppe i kategorien af grupper. $G_{1}*G_{2}$ $G_{1}\amalg _{\{e\}}G_{2}$ $\{e\}$

Eksempler

Det frie produkt er isomorft for den uendelige dihedriske gruppe . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{2))$ ${\displaystyle D_{\infty ))$
Et gratis produkt er isomorft for en projektiv gruppe . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{3))$ $PSL(2,\mathbb {Z} )$
Et gratis produkt af kopier er en gratis gruppe med generatorer. $n$ $\mathbb {Z}$ $n$
Seifert-van Kampen-sætningen siger især, at hvis er et topologisk rum, og er to forbundne åbne mængder sådan, at skæringspunktet simpelthen er forbundet, og , Så er den fundamentale gruppe det frie produkt af de grundlæggende grupper og ; det er $x$ $V,U\subset X$ $W=V\cap U$ $X=V\cup U$ $x$ $V$ $U$ $\pi _{1}X=\pi _{1}V*\pi _{1}U.$

Litteratur

Kargapolov MI, Merzlyakov Yu. I. Fundamentals of group theory. Moskva: Nauka, 1982.
Kostrikin A.I. Introduktion til algebra. Moskva: Nauka, 1977.
Kurosh A.G. Teori om grupper. (3. udgave). Moskva: Nauka, 1967.
Hall M. Teori om grupper. M.: Forlag for udenlandsk litteratur, 1962.