Almindeligt primtal
Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 26. juni 2016; verifikation kræver 1 redigering .I talteorien er et regulært primtal ethvert primtal p , for hvilket antallet af ideelle klasser af et cirkulært felt ikke er deleligt med p . Alle andre ulige primtal kaldes uregelmæssige.
De første par regulære primtal [1] :
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, …Egenskaber
De regulære tal er nøjagtigt Kummer-primtal, men det er ret svært at bevise. For at kontrollere om et tal er Kummer, kan det såkaldte Kummer-kriterium bruges: p er Kummer hvis og kun hvis tællerne for alle Bernoulli-tal ikke er delelige med p .
Det antages, at der er uendeligt mange regulære primtal, men denne påstand er ikke blevet bevist.
Regelmæssige tal blev introduceret af Kummer [2] mens han forsøgte at bevise Fermats sætning . Et af de opnåede sætninger, under hensyntagen til sammenfaldet af regularitet og Kummer-egenskaber, siger følgende:
Hvis et primtal p er regulært, så har ligningen for det ingen løsninger i naturlige tal .
Uregelmæssig prime
Et primtal, der ikke er regulært, kaldes et uregelmæssigt primtal . Et par første uregelmæssige primtal [3] :
37 , 59, 67, 101 , 103 , 131 , 149 , 157, 233, 257 , 263, 271, 283 , 293, …Jensen beviste, at der er uendeligt mange uregelmæssige primtal.
Uregelmæssige par
Hvis p er et uregelmæssigt primtal, så deler p uden rest tælleren for Bernoulli-tallet B 2 k for et lige indeks 2 k i intervallet 0 < 2k < p −1 . I dette tilfælde kaldes talparret (p, 2k) for et uregelmæssigt par . De første par uregelmæssige par [4] :
(691, 12), (3617, 16), (43867, 18), (283, 20), (617, 20), (131, 22), (593, 22), (103, 24), …For et givet primtal p kaldes antallet af sådanne par for indekset for p 's uregelmæssighed . Et primtal er således regulært, hvis og kun hvis indekset for uregelmæssighed er nul. På samme måde er et primtal uregelmæssigt, hvis og kun hvis dets uregelmæssighedsindeks er positivt.
Det viser sig, at for p < 30000 er parret (p, p−3) kun uregelmæssigt for det primtal Wolstenholmske p = 16843 .
Noter
Litteratur
- Postnikov M. M. Introduktion til teorien om algebraiske tal. — M .: Nauka, 1982.
- Borevich Z.I., Shafarevich I.R. Talteori. — M .: Nauka, 1985.
- Ernest Kummer. Allgemeiner Beweis des Fermat'schen Satzes, dass die Gleichung x λ + y λ = z λ durch ganze Zahlen unlösbar ist, für alle diejenigen Potenz-Exponenten λ, welche ungerade Primzahlen sind und in den Zählern der ersten (λ-3)/2) Bernoulli'schen Zahlen als Factoren nicht vorkommen // J. Reine Angew. Matematik. - 1850. - Udgave. 40 . - S. 131-138 .