Deming regression

I statistik er Deming-regression , opkaldt efter W.C. Deming , en type regression med variable fejl forsøger at finde den bedste udjævningslinje for et todimensionelt datasæt. Regression adskiller sig fra simpel lineær regression ved, at den tager højde for fejl i observationen i både x -aksen og y -aksen . Regression er et specialtilfælde af metoden med mindst fulde kvadrater , som tager højde for et vilkårligt antal indikatorer og har en mere kompleks fejlstruktur.

Deming-regression svarer til estimering af maksimal sandsynlighed på en model med fejl i variable , hvor fejlene i to variable antages at være uafhængige og har en normalfordeling , og forholdet mellem deres varians, δ , er kendt [1 ] . I praksis kan dette forhold estimeres ud fra de oprindelige data. Regressionsproceduren tager dog ikke højde for mulige fejl ved estimering af varianskvoterne.

Deming-regression er kun lidt mere kompliceret end simpel lineær regression . De fleste statistiske pakker, der bruges i klinisk kemi, giver Deming-regression.

Modellen blev oprindeligt foreslået af Adcock [2] , som betragtede tilfældet δ = 1, og derefter overvejet mere generelt af Kummell [3] med vilkårlig δ . Imidlertid forblev deres ideer stort set ubemærket i mere end 50 år, indtil de blev genoplivet af Koopmans [4] og senere udbredt af Deming [5] . Sidstnævntes bog er blevet så populær inden for klinisk kemi og beslægtede områder, at metoden på disse områder er blevet kaldt Demings regression [6] .

Specifikation

Antag, at dataene ( y i , x i ) er værdier opnået fra målinger af "sande" værdier ( y i * , x i * ), der ligger på regressionslinjen:

{\begin{aligned}y_{i}&=y_{i}^{*}+\varepsilon _{i},\\x_{i}&=x_{i}^{*}+\eta _{i},\end{aligned}}

hvor fejlene ε og η er uafhængige, og forholdet mellem deres varians er kendt:

\delta ={\frac {\sigma _{\varepsilon }^{2}}{\sigma _{\eta }^{2}}}.

I praksis er varianserne af parametrene og ofte ukendte, hvilket komplicerer estimeringen af . Bemærk, at når målemetoden er den samme, er disse afvigelser sandsynligvis ens, så i dette tilfælde . $x$ $y$ $\delta$ $x$ $y$ $\delta =1$

Vi forsøger at finde den "bedste udjævning" linje

y^{*}=\beta _{0}+\beta _{1}x^{*},

sådan at den vægtede sum af kvadrerede rester er minimal [7]

SSR=\sum _{i=1}^{n}{\bigg (}{\frac {\varepsilon _{i}^{2}}{\sigma _{\varepsilon }^{2}} }+{\frac {\eta _{i}^{2}}{\sigma _{\eta }^{2}}}{\bigg )}={\frac {1}{\sigma _{\varepsilon }^{2))}\sum _{i=1}^{n}{\Big (}(y_{i}-\beta _{0}-\beta _{1}x_{i}^{* })^{2}+\delta (x_{i}-x_{i}^{*})^{2}{\Big )}\ \to \ \min _{\beta _{0},\beta _{1},x_{1}^{*},\ldots,x_{n}^{*}}SSR

Løsning

Løsningen kan udtrykkes i anden ordens momenter. Det vil sige, at vi først beregner følgende mængder (alle summer overtages i = 1 : n ):

{\begin{aligned}&{\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum x_{i},\quad {\overline {y}}={\frac {1 }{n}}\sum y_{i},\\&s_{xx}={\tfrac {1}{n-1}}\sum (x_{i}-{\overline {x}})^{2 },\\&s_{xy}={\tfrac {1}{n-1}}\sum (x_{i}-{\overline {x}})(y_{i}-{\overline {y}} ),\\&s_{yy}={\tfrac {1}{n-1}}\sum (y_{i}-{\overline {y}})^{2}.\end{aligned}}

Endelig vil parametrene for mindste kvadraters estimering være [8] :

{\begin{aligned}&{\hat {\beta}}_{1}={\frac {s_{yy}-\delta s_{xx}+{\sqrt {(s_{yy}-\ delta s_{xx})^{2}+4\delta s_{xy}^{2}}}}{2s_{xy}}},\\&{\hat {\beta}}_{0}={ \overline {y}}-{\hat {\beta }}_{1}{\overline {x}},\\&{\hat {x}}_{i}^{*}=x_{i} +{\frac {{\hat {\beta }}_{1}}{{\hat {\beta}}_{1}^{2}+\delta }}(y_{i}-{\hat { \beta }}_{0}-{\hat {\beta}}_{1}x_{i}).\end{aligned}}

Ortogonal regression

Hvis fejlafvigelserne er ens, dvs. i tilfælde , bliver Deming-regression en ortogonal regression — den minimerer summen af de kvadrerede afstande fra stikprøvepunkterne til regressionslinjen . I dette tilfælde skal du angive hvert prøvepunkt z j i det komplekse plan (dvs. prøvepunktet ( x j , y j ) er skrevet som z j = x j + iy j , hvor i er den imaginære enhed ). Angiv med Z summen af de kvadrerede forskelle fra prøveudtagningspunkterne til tyngdepunktet (også repræsenteret i komplekse koordinater). Tyngdepunktet er gennemsnittet af prøvepunkterne. Så [9] : $\delta=1$

Hvis Z = 0, så er enhver linje, der passerer gennem tyngdepunktet, den linje med den bedste ortogonale udjævning.
Hvis Z ≠ 0, passerer linjen med den bedste ortogonale udjævning gennem tyngdepunktet og er parallel med vektoren fra origo til . ${\sqrt {Z))$

En trigonometrisk fortolkning af linjen for bedste ortogonale udjævning blev givet af Coolidge i 1913 [10] .

Ansøgninger

I tilfælde af tre ikke- kollineære punkter i planet har trekanten dannet af disse punkter en enkelt indskrevet Steiner-ellipse , der rører siderne af trekanten ved midtpunkterne. Hovedaksen for denne ellipse vil være en ortogonal regression af disse tre hjørner [11] .

Noter

↑ Linnet, 1993 .
↑ Adcock, 1878 .
↑ Kummell, 1879 .
↑ Koopmans, 1937 .
↑ Deming, 1943 .
↑ Cornbleet og Gochman 1979 , s. 432-438.
↑ Fuller, 1987 , s. kap.1.3.3.
↑ Glaister, 2001 , s. 104-107.
↑ Minda, Phelps, 2008 , s. 679–689, Sætning 2.3.
↑ Coolidge, 1913 , s. 187-190.
↑ Minda, Phelps, 2008 , s. 679–689, konsekvens 2.4.

Litteratur

RJ Adcock. Et problem i mindste kvadrater // Analytikeren. - Mathematiks annaler, 1878. - V. 5 , Nr. 2 . — S. 53–54 . - doi : 10.2307/2635758 . — .
JL Coolidge. To geometriske anvendelser af mindste kvadraters matematik // The American Mathematical Monthly . - 1913. - T. 20 , Nr. 6 . — S. 187–190 . - doi : 10.2307/2973072 .
PJ Cornbleet, N. Gochman. Forkerte mindste kvadraters regressionskoefficienter // Clin. Chem.. - 1979. - V. 25 , no. 3 . — S. 432–438 . — PMID 262186 .
W.E. Deming. Statistisk justering af data. - Wiley, NY (Dover Publications udgave, 1985), 1943. - ISBN 0-486-64685-8 .
Wayne A. Fuller. målefejlmodeller. - John Wiley & Sons, Inc., 1987. - ISBN 0-471-86187-1 .
P. Glaister. Mindste firkanter genbesøgt // Matematisk Gazette . - 2001. - Udgave. 85 marts . - S. 104-107 .
TC Koopmans. Lineær regressionsanalyse af økonomiske tidsserier. — DeErven F. Bohn, Haarlem, Holland, 1937.
CH Kummell. Reduktion af observationsligninger, der indeholder mere end én observeret mængde // The Analyst. - Mathematiks annaler, 1879. - V. 6 , Nr. 4 . — S. 97–105 . - doi : 10.2307/2635646 . — .
K. Linnet. Evaluering af regressionsprocedurer for metodesammenligningsstudier // Klinisk kemi. - 1993. - T. 39 , no. 3 . — S. 424–432 . — PMID 8448852 .
D. Minda, S. Phelps. Trekanter, ellipser og kubiske polynomier // American Mathematical Monthly . - 2008. - T. 115 , no. 8 . — S. 679–689 .