Offentliggørelse af usikkerheder

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 29. september 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Usikkerhedsafsløring - metoder til at beregne grænserne for funktioner givet af formler, som, som et resultat af formel substitution af grænseværdierne for argumentet i dem, mister deres betydning, det vil sige, de bliver til udtryk som:

\left(\infty -\infty \right)

\left({\frac {\infty }{\infty }}\right)

\left({\frac {0}{0}}\right)

\left(0\cdot \infty \right)

\left(0^{0}\right)

\left(\infty ^{0}\right)

\left(1^{\infty}\right)

(Her er en uendelig lille værdi , er en uendelig stor værdi , 1 er et udtryk uendeligt tæt på tallet 1) ${\textstyle 0}$ $\infty$

hvorved det er umuligt at bedømme, om de ønskede grænser eksisterer eller ej, for ikke at tale om at finde deres værdier, hvis de eksisterer.

Den mest kraftfulde metode er L'Hopitals regel , men den tillader ikke at beregne grænsen i alle tilfælde . Derudover er den kun direkte anvendelig på den anden og tredje af de anførte typer usikkerheder, det vil sige relationer, og for at afsløre andre typer skal de først reduceres til en af disse.

For at beregne grænserne bruges udvidelsen af de udtryk, der indgår i den undersøgte usikkerhed, ofte i en Taylor-serie i nærheden af grænsepunktet . For at afsløre typernes usikkerheder , , bruger de følgende metode: de finder grænsen for den (naturlige) logaritme af udtrykket, der indeholder den givne usikkerhed. Som følge heraf ændres typen af usikkerhed. Efter at have fundet grænsen tages eksponenten fra den . $\left(~0^{0}\right)$ $\left(1^{\infty}\right)$ $\left(\infty ^{0}\right)$

\left(~0^{0}\right)=\left(e^{0\cdot \ln {0}}\right)=\left(e^{0\cdot (-\infty)} \ret)

\left(~1^{\infty}\right)=\left(e^{\infty \cdot \ln {1))\right)=\left(e^{\infty \cdot 0}\ ret)

\left(~\infty ^{0}\right)=\left(e^{0\cdot \ln {\infty}}\right)=\left(e^{0\cdot \infty}\ ret)

Følgende algoritme bruges til at løse type uklarheder : ${\frac {\infty }{\infty ))$

Identifikation af den højeste grad af en variabel;
Divider med denne variabel både tælleren og nævneren.

For at løse type uklarheder er der følgende algoritme: $\left({\frac {0}{0}}\right)$

Faktorisering af tæller og nævner;
Brøkreduktion.

For at løse typeuklarheder er det nogle gange praktisk at anvende følgende transformation: $(\infty -\infty )$

Lad og ;

f(x){\xhøjrepil {x\to a}}\infty

g(x){\xhøjrepil {x\to a}}\infty

\lim _{{x\to a}}[f(x)-g(x)]=(\infty -\infty )=\lim _{{x\to a}}\left({\frac {1 }{{\frac {1}{f(x)}}}-{\frac {1}{{\frac {1}{g(x)))}}\right)=\lim _{{x \to a}}{\frac {{\frac {1}{g(x)}}-{\frac {1}{f(x)))}{{\frac {1}{g(x)} }\cdot {\frac {1}{f(x)}}}}=\venstre({\frac {0}{0}}\right)

Denne type usikkerhed kan løses ved hjælp af asymptotiske udvidelser af minuend og subtrahend, mens uendeligt store termer af samme orden skal elimineres.

Bemærkelsesværdige grænser og deres konsekvenser gælder også ved afdækning af usikkerheder .

Eksempel

$\lim _{x\to a}{\frac {a^{x}-x^{a}}{xa}},a>0$ er et eksempel [1] på formens usikkerhed . Ifølge L'Hopitals regel . Den anden måde er at addere og subtrahere i tælleren og anvende Lagrange-sætningen to gange , på funktionerne og henholdsvis: $\left({\frac {0}{0}}\right)$ $\lim _{x\to a}{\frac {a^{x}-x^{a}}{xa}}=\lim _{x\to a}{\frac {a^{x }\ln a-ax^{a-1}}{1}}=a^{a}(\ln a-1)$ $a^{a}$ $a^{x}$ $x^{a}$

${\frac {a^{x}-x^{a}}{xa}}={\frac {a^{x}-a^{a}-(x^{a}-a^{ a})}{xa))={\frac {a^{c}\ln a(xa)-ad^{a-1}(xa)}{xa}}=a^{c}\ln a- annonce^{a-1}$

her ligger c, d mellem a og x, så de har en tendens til a da x har en tendens til a, derfor får vi samme grænse som i den første metode.

Noter

↑ Demidovich B.P. Opgave nr. 1358 // Opgavesamling og øvelser i matematisk analyse. - 7. udg. - M . : Nauka , 1969. - S. 136.

Ordbøger og encyklopædier	Stor russer Ny