Pseudo-harmoniske vibrationer

Pseudo-harmonisk oscillation er en type svingning, for hvilken den genskabende kraft (den kraft, der har tendens til at returnere kroppen til en ligevægtstilstand) ikke er lineær i størrelsen af afvigelsen. Det er med andre ord vibrationer, hvor systemets "fleksibilitet" afhænger af forskydningen.

Oscillationsligningen

Generel form for ligningen for pseudoharmoniske svingninger:

m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=F(x,x^{2},x^{3},\dots)

Hvis det er muligt at negligere alle led af F, der er ikke-lineære i x, så bliver denne ligning til en ligning af harmoniske svingninger .

Eksempler

En elastisk vægtløs wire med længden 2l er fastgjort i begge ender. En belastning med masse m er fastgjort i midten af ledningen. I det indledende tidspunkt fjernes belastningen fra ligevægtspositionen med en afstand a << l og frigives uden begyndelseshastighed. Trådens spændingskraft er P, dens tværsnit er F og Youngs modul er E. Oscillationsligningen vil i dette tilfælde blive skrevet som:

m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-{\frac {2Px}{l}}-{\frac {EFx^{3}}{l^{ 3}}}

Løsningen til denne ligning kan repræsenteres som:

x=a\,\operatørnavn {cn} \left({\sqrt {\frac {2Pl+EFa^{2}}{ml^{3}}}}t\right)

Her betegner symbolet Jacobi elliptiske funktion . Perioden for sådanne svingninger er lig med: $\operatørnavn {cn}$

T=4{\sqrt {\frac {ml^{3}}{2Pl+EFa^{2}}}}K\venstre({\sqrt {\frac {EFa^{2}}{4Pl^ {2}+2EFa^{2}}}}\right)

Her er K det komplette normale elliptiske integral af den første slags

Se også

Harmoniske vibrationer

Litteratur

Yu.S. Sikorskys almindelige differentialligninger //M., URSS, 2005