Modul plads

Et modulrum i algebraisk geometri er et geometrisk rum (for eksempel et skema , kompleks eller algebraisk rum), hvis punkter svarer til en eller anden klasse af algebraisk-geometriske objekter , faktoriseret af en eller anden ækvivalensrelation . Sådanne rum opstår ofte som løsninger på klassifikationsproblemer: hvis sættet af objekter af interesse for os (for eksempel glatte algebraiske kurver af slægten betragtet op til isomorfisme ) kan udstyres med strukturen af et geometrisk rum, så kan disse objekter parametriseres ved at indføre koordinater på dette rum. I denne sammenhæng er begrebet "moduler" synonymt med begrebet "parametre": modulrum blev oprindeligt forstået som parameterrum, ikke objektrum. $EN$ $R$ $g$

Historie

Teorien om moduler opstod i studiet af elliptiske funktioner : der er en familie af forskellige felter af elliptiske funktioner (eller deres modeller - ikke-isomorfe elliptiske kurver over ), parametriseret af komplekse tal. Bernhard Riemann , der selv ejer udtrykket "moduler", viste, at kompakte Riemann-overflader af slægten afhænger af komplekse parametre - moduler . $\mathbb {C}$ $g\geqslant 2$ $3g-3$

Definitioner

Lad være nogle skema (kompleks eller algebraisk rum). En familie af objekter parametriseret af et skema (eller, som det ofte siges, over eller med en base ) er et sæt af objekter forsynet med en ekstra struktur, der stemmer overens med strukturen af basen . Denne struktur specificeres eksplicit i hvert enkelt tilfælde. En modulfunktion (eller en familiefunktion ) er en kontravariant funktion fra kategorien af skemaer (eller mellemrum) til kategorien af sæt, defineret som følger: er sættet af klasser af isomorfe familier over , og en kortlægning er forbundet med en morfisme ved at tage den inducerede familie. $S$ $S$ $S$ $S$ ${\displaystyle \{X_{s}|s\in S,X_{s}\in A\))$ $S$ ${\mathcal {M}}$ ${\mathcal {M}}(S)$ $S$ $f:S\to T$ $f^{*}:{\mathcal {M}}(T)\to {\mathcal {M}}(S)$

Hvis moduli-funktøren kan repræsenteres ved hjælp af et skema (eller mellemrum) , så kaldes det et tyndt modulrum for funktoren . I dette tilfælde eksisterer der en universel familie med base , det vil sige, at en vilkårlig familie med base induceres af familien ved hjælp af en enkelt kortlægning . ${\mathcal {M}}$ $M$ $M$ ${\mathcal {M}}$ $U$ $M$ $T$ $S$ $U$ $f:S\to M$

Moduli-funktoren er repræsentabel i meget få tilfælde, i forbindelse med hvilken begrebet et groft modulrum også blev introduceret . Skemaet kaldes det grove modulrum for funktoren . hvis der er en naturlig transformation sådan $M$ ${\mathcal {M}}$ $\varphi :{\mathcal {M}}\to \mathrm {Hom} (\cdot ,M)$

hvis er et algebraisk lukket felt , så er kortlægningen bijektiv; $K$ $\varphi (\mathrm {Spec} \,K):{\mathcal {M}}(\mathrm {Spec} \,K)\to \mathrm {Hom} (\mathrm {Spec} \,K, M)$
for et vilkårligt skema og en naturlig transformation er der en unik morfisme , sådan at den tilhørende naturlige transformation opfylder . $M'$ $\varphi ':{\mathcal {M}}\to \mathrm {Hom} (\cdot ,M')$ $\pi :M\to M'$ $\Pi :\mathrm {Hom} (\cdot ,M)\to \mathrm {Hom} (\cdot ,M')$ $\varphi =\Pi \circ \varphi '$

Intuitivt svarer de lukkede punkter i det grove moduldiagram til elementerne , og geometrien af dette diagram afspejler, hvordan objekterne i en klasse kan variere i familier. På den anden side eksisterer en universel familie muligvis ikke længere over et groft skema af moduler. $A/R$ $EN$

Eksempler

Kurver

Lad (henholdsvis ) være sættet af klasser af isomorfe projektive glatte forbundne kurver (henholdsvis stabile kurver ) af slægten over et algebraisk lukket felt . En familie af overs er en glat (flad) korrekt morfisme , hvis fibre er glatte (stabile) kurver af slægten . Så eksisterer der et groft skema af moduler (henholdsvis ), som er en kvasi-projektiv (projektiv) irreducerbar og normal variation over . [en] ${\displaystyle A/R=\mathbf {M} _{g))$ ${\displaystyle {\overline {\mathbf {M} _{g))))$ $g\geqslant 2$ $K$ $S$ $f:X\to S$ $g$ ${\displaystyle M_{g))$ ${\displaystyle {\overline {M_{g))))$ $K$

Vektorbundter

Lad være sættet af klasser af isomorfe vektorbundter af rang på en algebraisk sort . Familien over er et vektorbundt på . I det tilfælde, hvor en ikke-singular projektiv kurve er over et algebraisk lukket felt, eksisterer der en normal projektiv variation , som er et groft modulrum af semistable vektorbundter af rang og grad på . Stabile vektorbundter er parametriseret af en åben glat undermanifold . Hvis og er coprime, falder sammen med og er et tyndt modulrum [2] . $A/R$ $n$ $x$ $S$ $X\ gange S$ $x$ ${\displaystyle {\overline {M_{d,n))))$ $n$ $d$ $x$ ${\displaystyle M_{d,n}\subset {\overline {M_{d,n))))$ $d$ $n$ ${\displaystyle M_{d,n))$ ${\displaystyle {\overline {M_{d,n))))$

Noter

↑ Deligne, Pierre; Mumford, David. Ureducerbarheden af kurverummet for en given slægt // Publications Mathématiques de l'IHÉS. - Paris, 1969. - Bd. 36. - S. 75-109.
↑ P.E. Newstead. Introduktion til modulproblemer og kredsløbsrum. — Springer-Verlag, 1978.

Litteratur

Modulteori - artikel fra Encyclopedia of Mathematics . V. A. Iskovskikh
J. Harris, I. Morrison. Kurve moduler. Introduktionskursus / pr. fra engelsk. udg. S. K. Lando. - Moskva: Mir, 2004.
K. Okonek, M. Schneider, H. Spindler. Vektorbundter på komplekse projektive rum / pr. fra engelsk. udg. Yu. I. Manina. - Moskva: Mir, 1984.