Bagerens kortlægning er en ikke-lineær kortlægning af enhedspladsen på sig selv, som udviser kaotisk adfærd.
Navnet "bager display" kommer fra dets lighed med dejæltning .
For at få denne kortlægning skal du overveje en symbolsk sekvens af binære tegn (0 og 1) , der er uendelig i begge retninger
…S -2 , S -1 , S0 ; S 1 , S 2 ,…Lad os sammenligne denne sekvens med to reelle tal (i binær kode)
x = 0. S 1 S 2 S 3 ... y = 0. S 0 S -1 S -2 ...Da forskydningen af hele tallet til venstre med et ciffer i det binære system svarer til multiplikation med 2, skiftet til højre svarer til division med 2, og at tage brøkdelen til at kassere det højeste ciffer, er det nemt for at verificere, at når den symbolske sekvens flyttes til venstre, opnås nye værdier
x' = 2x mod 1 y' = 1/2 ( y + [2x])hvor [x] er hele tallet og (mod 1) er brøkdelen af x . Punkterne opnået ved at iterere kortlægningen kaldes punktets bane (x o , y o ) . Banens punkter kan identificeres med punkterne i enhedskvadraten.
Transformationen består af ensartet komprimering af kvadratet 2 gange i lodret retning og strækning i vandret retning. Dernæst skal højre halvdel skæres af og sættes til venstre. Handlingen af de to første iterationer er vist i figuren.
Det er klart, hvis det første ciffer efter semikolon i tegnsekvensen er 0, så ligger x i venstre halvdel af kvadratet, og hvis 1, så i højre. For en tilfældig tegnsekvens vil kredsløbets punkter besøge venstre eller højre halvdel af firkanten tilfældigt. Eksistensen af et kontinuum af komplekse baner betragtes som et af kaosets kendetegn.
Kortets periodiske kredsløb er let at finde ud fra den symbolske sekvens. Så symbolske sekvenser, der kun består af 0 og 1 , svarer til fikspunkter (x, y) = (0, 0) og (1, 1) . Den periodiske sekvens (10) svarer til en bane på to punkter (1/3, 2/3) og (2/3, 1/3) .
Enhver x og y kan tilnærmes vilkårligt nøjagtigt af binære sekvenser 0.X o …X n og 0.Y o …Y m , hvor n og m er store nok. Derfor vil kredsløbet for den periodiske sekvens (Y m …Y o X o …X n ) passere vilkårligt tæt på ethvert punkt i kvadratet. Det vil sige, at ustabile periodiske baner danner et overalt tæt sæt.
Strækning langs x - aksen fører til, at ved hver iteration vil afstanden i vandret retning mellem ethvert par tætte punkter δx øges med 2 gange. Derfor, efter et vist antal iterationer (når δx 2 n bliver meget større end 1), vil banerne bevæge sig ensartet over hele kvadratet.
Det antages, at den oprindelige tilstand af et fysisk system ikke kan specificeres helt nøjagtigt, det vil sige, at det altid er nødvendigt at overveje et eller andet (omend meget lille) område med indledende forhold. Under kortlægningsiterationer vil et hvilket som helst udvalgt område naturligvis blive til en samling af smalle vandrette striber, som jævnt vil dække enhedsfirkanten. Efter en sådan blanding er det meningsløst at tale om partiklens koordinat, men du kan beregne sandsynligheden for, at den er på et givet punkt (for en given kortlægning vil alle punkter i kvadratet være lige sandsynlige). Bagerens transformation er reversibel; når den gentages i den modsatte retning, vil ethvert område blive opdelt i smalle lodrette striber og også blandet rundt om hele firkanten.
En uendelig tilfældig symbolsk sekvens (et sted i det uendelige) indeholder nødvendigvis en hvilken som helst streng Y m …Y o X o …X n (se #Ustabile periodiske kredsløb ). Derfor passerer et sådant punkts kredsløb vilkårligt tæt på hvert punkt i kvadratet, og midling over kredsløbet ("tiden") kan erstattes af midling over ensemblet (den såkaldte ergodiske hypotese ).