Primorial

Primorial , primorial ( eng. Primorial ) - i talteori, en funktion over en række naturlige tal , svarende til faktorialfunktionen , med den forskel at primorial er et sekventielt produkt af primtal mindre end eller lig med et givet, mens factorial er et sekventielt produkt af alle naturlige tal mindre end eller lig med et givet tal.

Udtrykket "primorial" blev introduceret i videnskabelig cirkulation af den amerikanske ingeniør og matematiker Harvey Dubner [1] .

Definition for primtal

For det n'te primtal p n er primtal p n # defineret som produktet af de første n primtal [2] [3] :

p_{n}\#=\prod _{k=1}^{n}p_{k},

hvor p k er det k -te primtal.

For eksempel angiver p 5 # produktet af de første 5 primtal:

p_{5}\#=2\ gange 3\ gange 5\ gange 7\ gange 11=2310.

Så de første seks primorials er:

1, 2, 6, 30, 210, 2310 (OEIS-sekvensen A002110 inkluderer også p 0 # = 1 som det tomme produkt ).

Asymptotisk vokser primorialerne p n # iflg

p_{n}\#=e^{[1+o(1)]n\log n},

hvor er notationen "o" lille [3] . $o(\cdot )$

Definition for naturlige tal

Generelt, for et positivt heltal n , kan det oprindelige n # defineres som produktet af primtal mindre end eller lig med n [2] [4] :

n\#=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#,

hvor er fordelingsfunktionen af primtal (sekvens A000720 i OEIS ), der giver antallet af primtal ≤ n , hvilket svarer til $\pin)$

n\#={\begin{cases}1&{\text{when }}n=1,\\n\times ((n-1)\#)&{\text{when simple }}n> 1,\\(n-1)\#&{\text{when }}n>1.\end{cases}}

For eksempel er 12# produktet af primtal, som hver er ≤ 12:

12\#=2\ gange 3\ gange 5\ gange 7\ gange 11=2310.

Så det kan beregnes som $\pi (12)=5$

12\#=p_{\pi (12)}\#=p_{5}\#=2310.

Overvej de første 12 primorials:

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

Vi kan se, at for sammensatte tal dublerer hvert medlem af denne sekvens simpelthen den forrige. I eksemplet ovenfor har vi, at 12# = p 5 # = 11#, da 12 er et sammensat tal.

Den naturlige logaritme n # er den første Chebyshev-funktion skrevet som eller , som nærmer sig en lineær n for store værdier af n [5] . $\theta(n)$ $\vartheta (n)$

Primorials n # vokser iflg

\ln(n\#)\sim n.

Funktioner og applikationer

Primorials spiller en vigtig rolle i at finde primtal i aritmetiske progressioner af primtal . Tilføjelse af tallene 2236133941 + 23# resulterer for eksempel i et primtal, der begynder en sekvens af tretten primtal, som kan opnås ved at tilføje 23# i rækkefølge, og slutter med tallet 5136341251. 23# er også den almindelige forskel i aritmetik progressioner af femten og seksten primtal.

Hvert flerdelt tal kan repræsenteres som et produkt af primorialer (for eksempel 360 = 2 · 6 · 30) [6] .

Alle primorialer er kvadratfrie , og hver har prim-divisorer af et hvilket som helst tal mindre end primorialet. For hver primorial n er forholdet mindre end for ethvert heltal, hvor er Euler-funktionen . $\phi (n)/n$ $\phi$

Hvert primorial er et svagt totient tal [7] .

Tilnærmelse

Riemann zeta-funktionen for positive tal større end et kan udtrykkes [8] ved hjælp af primorial- og Jordan-funktionen : $J_{k}(n)$

\zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{ r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}},\quad k=2,3,\dots

Tabel over værdier

n	n #	p n	p n #
0	en	eksisterer ikke	eksisterer ikke
en	en	2	2
2	2	3	6
3	6	5	tredive
fire	6	7	210
5	tredive	elleve	2310
6	tredive	13	30030
7	210	17	510510
otte	210	19	9699690
9	210	23	223092870
ti	210	29	6469693230
elleve	2310	31	200560490130
12	2310	37	7420738134810
13	30030	41	304250263527210
fjorten	30030	43	13082761331670030
femten	30030	47	614889782588491410
16	30030	53	32589158477190044730
17	510510	59	1922760350154212639070
atten	510510	61	117288381359406970983270
19	9699690	67	7858321551080267055879090
tyve	9699690	71	557940830126698960967415390

Komponist

Sammensætningen af tallet n er i modsætning til primorialet produktet af sammensatte tal mindre end n. Sammensætningen er lig med forholdet mellem faktorialet og primorialet af et tal: . De første femten komponist (ekskl. Gentagende værdier) er 1, 4, 24, 192, 1728, 17280, 207360, 2903040, 43545600, 696729600, 12541132800, 250822656000, 5267277776000, 11588880067072000 [ 9 ] . $n!/n\#$

Se også

Noter

↑ Dubner, 1987 , s. 197-203.
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Primorial (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ 1 2 sekvens A002110 i OEIS .
↑ OEIS -sekvens A034386 . _
↑ Weisstein, Eric W. Chebyshev Functions på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ A002182 - OEIS . Dato for adgang: 5. januar 2016. Arkiveret fra originalen 24. december 2015. (ubestemt)
↑ Om sparsomt totiente tal . Dato for adgang: 5. januar 2016. Arkiveret fra originalen 4. marts 2016. (ubestemt)
↑ István Mező. Primorial- og Riemann-zeta-funktionen: [ eng. ] // The American Mathematical Monthly. - 2013. - Bd. 120. - S. 321.
↑ kompositorier . _ www.numbersaplenty.com. Hentet 1. februar 2018. Arkiveret fra originalen 24. januar 2018.
↑ OEIS -sekvens A036691 _
↑ Kompositorium - OeisWiki . oeis.org. Hentet 1. februar 2018. Arkiveret fra originalen 2. februar 2018.

Litteratur

Harvey Dubner. Faktor- og primtal // Journal of Recreational Mathematics. - 1987. - Bd. 19. - S. 197-203.