Middel krumning flow

En strøm af middelkrumning er en vis proces med deformation af hyperoverflader i en Riemann-manifold , især for overflader i 3-dimensionelle euklidiske rum .

Strømningen deformerer overfladen i normal retning med en hastighed svarende til dens gennemsnitlige krumning. For eksempel bliver en kugle under påvirkning af en strømning komprimeret til et punkt.

Ligning

En en-parameter familie af overflader er en strøm af middel krumning if $f_{t}\colon S\hookrightarrow M$

{\frac {\partial f_{t}(x)}{\partial t))=H_{t}(x)\cdot n(x),

hvor og angiver middelkrumningen og enheden vinkelret på overfladen i punktet . $H_{t}(x)$ $n(x)$ $f_{t}(S)$ $f_{t}(x)$

Egenskaber

Strømningsligningen er en parabolsk partiel differentialligning .
- Dette garanterer især eksistensen af en løsning for små værdier af tidsparameteren.
Minimumsfladerne er kritiske punkter for en strøm af gennemsnitlig krumning.
Normalt danner et flow med gennemsnitlig krumning en singularitet i en begrænset tid, hvorfra flowet ophører med at blive defineret.
Huiskens monotoniske formel
Under påvirkning af strømmen forbliver en lukket konveks hyperoverflade i det euklidiske rum konveks. Desuden kollapser den til et punkt i en begrænset tid, og umiddelbart op til dette punkt nærmer overfladen sig standardkuglen op til en skalaændring.
- I en generel Riemannmanifold bevares konveksiteten af en hyperoverflade ikke i flowet, selvom man desuden kræver, at sektionskrumningen er positiv .

Se også

Et afkortningsflow er et specialtilfælde af en middelkurvaturstrøm for kurver i et plan.
Ricci-strømmen er en nært beslægtet konstruktion til deformation af Riemann-manifolder.

Ansøgninger

Flow giver en naturlig udjævning af hyperoverflader. Giver især en analytisk tilnærmelse af en given -glat hyperoverflade. $C^{2}$

Litteratur

Ecker, Klaus (2004), Regularity Theory for Mean Curvature Flow , vol. 57, Fremskridt i ikke-lineære differentialligninger og deres anvendelser, Boston, MA: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3243-3 , DOI 10.1007/978-0-8176-8210-1 .
Mantegazza, Carlo (2011), Lecture Notes on Mean Curvature Flow , vol. 290, Progress in Mathematics, Basel: Birkhäuser/Springer, ISBN 978-3-0348-0144-7 , DOI 10.1007/978-3-0348-0145-4 .
Lu, Conglin; Cao, Yan & Mumford, Davidd (2002), Surface evolution under curvature flows , Journal of Visual Communication and Image Representation bind 13 (1-2): 65–81 , DOI 10.1006/jvci.2001.0476 . Se især ligning 3a og 3b.