Middel krumning flow
En strøm af middelkrumning er en vis proces med deformation af hyperoverflader i en Riemann-manifold , især for overflader i 3-dimensionelle euklidiske rum .
Strømningen deformerer overfladen i normal retning med en hastighed svarende til dens gennemsnitlige krumning. For eksempel bliver en kugle under påvirkning af en strømning komprimeret til et punkt.
Ligning
En en-parameter familie af overflader er en strøm af middel krumning if
![{\displaystyle f_{t}\colon S\hookrightarrow M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32eeafa64782244f7546b13a745e77741050e5d1)
hvor og angiver middelkrumningen og enheden vinkelret på overfladen i punktet .
![{\displaystyle H_{t}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b20025174ec02c662cda7b4989ac7c033c1ce1b9)
![n(x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efcfb5557cd6fe3915d9e31b11e731e8feace024)
![{\displaystyle f_{t}(S)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da3397db73e1f8d12c685128c80493af0a87726c)
![{\displaystyle f_{t}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32aa39e7bb3e461604c2362fdc88fcad9f20f4af)
Egenskaber
- Strømningsligningen er en parabolsk partiel differentialligning .
- Dette garanterer især eksistensen af en løsning for små værdier af tidsparameteren.
- Minimumsfladerne er kritiske punkter for en strøm af gennemsnitlig krumning.
- Normalt danner et flow med gennemsnitlig krumning en singularitet i en begrænset tid, hvorfra flowet ophører med at blive defineret.
- Huiskens monotoniske formel
- Under påvirkning af strømmen forbliver en lukket konveks hyperoverflade i det euklidiske rum konveks. Desuden kollapser den til et punkt i en begrænset tid, og umiddelbart op til dette punkt nærmer overfladen sig standardkuglen op til en skalaændring.
- I en generel Riemannmanifold bevares konveksiteten af en hyperoverflade ikke i flowet, selvom man desuden kræver, at sektionskrumningen er positiv .
Se også
- Et afkortningsflow er et specialtilfælde af en middelkurvaturstrøm for kurver i et plan.
- Ricci-strømmen er en nært beslægtet konstruktion til deformation af Riemann-manifolder.
Ansøgninger
- Flow giver en naturlig udjævning af hyperoverflader. Giver især en analytisk tilnærmelse af en given -glat hyperoverflade.
![C^{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fd6a5946b7e916352b0afc557f992328bac85e8)
Litteratur
- Ecker, Klaus (2004), Regularity Theory for Mean Curvature Flow , vol. 57, Fremskridt i ikke-lineære differentialligninger og deres anvendelser, Boston, MA: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3243-3 , DOI 10.1007/978-0-8176-8210-1 .
- Mantegazza, Carlo (2011), Lecture Notes on Mean Curvature Flow , vol. 290, Progress in Mathematics, Basel: Birkhäuser/Springer, ISBN 978-3-0348-0144-7 , DOI 10.1007/978-3-0348-0145-4 .
- Lu, Conglin; Cao, Yan & Mumford, Davidd (2002), Surface evolution under curvature flows , Journal of Visual Communication and Image Representation bind 13 (1-2): 65–81 , DOI 10.1006/jvci.2001.0476 . Se især ligning 3a og 3b.