Potentielt vektorfelt
Potentielt (eller irrotationelt ) vektorfelt i matematik - vektorfelt , som kan repræsenteres som gradienten af en eller anden skalarfunktion af koordinater. En nødvendig betingelse for potentialet af et vektorfelt i tredimensionelt rum er ligheden af feltkrøllen til nul. Denne betingelse er imidlertid ikke tilstrækkelig - hvis det pågældende rumområde ikke blot er forbundet , kan skalarpotentialet være en funktion med flere værdier.
I fysik, der beskæftiger sig med kraftfelter , kan den matematiske betingelse for potentialiteten af et kraftfelt repræsenteres som kravet om, at arbejdet skal være lig med nul , når partiklen, som feltet påvirkes af, bevæger sig øjeblikkeligt langs et lukket kredsløb. Denne kontur behøver ikke at være banen for en partikel, der bevæger sig under påvirkning af kun givne kræfter. Som feltpotentiale i dette tilfælde kan man vælge arbejdet med en testopartikels øjeblikkelige bevægelse fra et eller andet vilkårligt valgt udgangspunkt til et givet punkt (per definition afhænger dette arbejde ikke af bevægelsesvejen). For eksempel er et statisk elektrisk felt potentiale såvel som et gravitationsfelt i den newtonske tyngdekraftsteori.
I nogle kilder betragtes kun et felt med et tidsuafhængigt potentiale som et potentielt felt af kræfter . Dette skyldes det faktum, at det tidsafhængige potentiale for kræfter generelt set ikke er den potentielle energi af et legeme, der bevæger sig under påvirkning af disse kræfter. Da kræfterne ikke virker på én gang, vil kræfternes arbejde på kroppen afhænge af dens bane og af passagehastigheden langs den. Under disse forhold er den potentielle energi i sig selv ikke defineret, da den per definition kun skal afhænge af kroppens position, men ikke af stien. Ikke desto mindre, også for dette tilfælde, kan potentialet for kræfter eksistere og kan indgå i bevægelsesligningerne på samme måde som den potentielle energi for de tilfælde, hvor den eksisterer.
Lad være et potentielt vektorfelt; det udtrykkes i form af potentialet som
(eller i en anden post ).
For kræfternes felt og kræfternes potentiale skrives samme formel som
,
det vil sige, for kræfter er potentialet . Når U ikke er afhængig af tid, er det en potentiel energi, og så optræder tegnet "-" simpelthen per definition. Ellers bibeholdes skiltet af hensyn til ensartetheden.
For feltet er sti-uafhængighedsegenskaben for integralet opfyldt :
,
Dette er ensbetydende med
.
Integralet med lukket sløjfe bliver 0, fordi start- og slutpunkterne er de samme. Omvendt kan den foregående formel udledes af denne ved at opdele en lukket sløjfe i to åbne sløjfer.
Den nødvendige betingelse skrives som (eller i en anden notation ).
I differentialformernes sprog er et potentielt felt en nøjagtig 1-form - det vil sige en form, der er den (ydre) differentiale af en 0-form (funktion). Gradienten svarer til at tage den ydre differential af 0-formen (potentiale), krøllen svarer til at tage den eksterne differential af 1-formen (feltet). Den nødvendige betingelse følger af, at den anden eksterne differens altid er lig nul: . Integralformler følger af (generaliserede) Stokes-sætningen .
